06-01二次関数の最大値と最小値で理解しておきたいところ

二次関数の最大値と最小にで特に理解しておきたいところでは、
定義域が設定された二次関数の最大値と最小値の特徴を理解する必要があります。

1.二次関数の最大値と最小値
 二次関数のグラフの最大値と最小値を考えるときは、まず、放物線の頂点がわかる形に変形します。
 $y=ax^2+bx+c$の形を、$y=a(x-p)^2+q$に変形します。
 このとき、$p=-\cfrac{b}{2a}$、$q=-\cfrac{b^2-4ac}{4a}$となります。
 ・$a>0$のとき、下に凸の放物線になるので、
  最小値は、頂点の$q$になります。
  最大値は、なしです。
 ・$a<0$のとき、上に凸の放物線になる。
  最小値は、なしです。
  最大値は、頂点の$q$になります。
  

2.定義域のある二次関数の最大値と最小値
  定義域$m \leqq x \leqq k$がある二次関数$y=a(x-p)^2+q$の最大値と最小値については、
  定義域の場所により最大値と最小値が変わるため、場合分けをします。
  まずは、$a>0$の二次関数で考えていきます。
  ($a<0$の二次関数は上下が逆になるので、最大値と最小値を逆に考えればよいです。)
 ①最大値について
  二次関数$y=a(x-p)^2+q$は、下に凸の放物線となり、軸$x=p$に対称になることを利用します。
  二次関数は、軸$x=p$に対称になるため、軸より遠いほど$y$が大きくなります。
  そのため、軸xより遠い場所が最大値をとります。
  
  
  つまり、「定義域の端の$m$と$k$のうち、どっちの方が軸$p$より遠いか」を考えます。
  $m$の方が遠い場合、$k$の方が遠い場合、$m$と$k$が同じ距離の場合の3つに場合分けします。
   
  

  (例)定義域が$0 \leqq x \leqq 2$である$y=(x-p)^2+2$の最大値を求めよ
   二次関数$y=(x-p)^2+2$が下に凸の放物線であり、軸$x=p$である。
   (1)$p<1$のとき
    $x=2$のときにyが最大となるため、$y=(2-p)^2+2=p^2-4p+6$
   (2)$p=1$のとき
    $x=0$または$x=2$のときに$y$が最大となるため、$y=(0-1)^2+2=3$
   (3)$p>1$のとき
    $x=0$のときに$y$が最大となるため、$y=(0-p)^2+2=p^2+2$
   すなわち(1)(2)(3)より
   $p<1$のとき最大値は$p^2-4p+6$、$p=1$のとき最大値は$3$、$p>1$のとき最大値は$p^2+2$
   
   

 ②最小値について
  二次関数$y=a(x-p)^2+q$が下に凸の放物線となり、軸$p$が定義域に含まれれば、
  常に最小値となることを考慮します。
  頂点が含まれなければ、軸$p$に近いところが最小値となります。
  
  つまり、軸が「定義域の左側」「定義域の内側」「定義域の右側」の3つに場合分けします。
  
  
  (例)定義域が$0 \leqq x \leqq 2$である$y=(x-p)^2+2$の最小値を求めよ
   二次関数$y=(x-p)^2+2$が下に凸の放物線であり、軸$x=p$である。
   (1)$p<0$のとき
    $x=0$のときにyが最小となるため、$y=(0-p)^2+2=p^2+2$
   (2)$0 \leqq p \leqq 2$のとき
    $x=p$のときにyが最小となるため、$y=(p-1)^2+2=2$
   (3)$p>2$のとき
    $x=2$のときにyが最小となるため、$y=(2-p)^2+2=p^2-4p+6$
   すなわち(1)(2)(3)より
   $p<0$のとき最小値は$p^2+2$、$0\leqq p \leqq 2$のとき最小値は$3$、$p>2$のとき最小値は$p^2-4p+6$
   
   
  
  

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