02-02数式の因数分解(難易度2)

以下の数式を因数分解せよ
①$2a^2+6ab+7a-3b-4$
②$2x^2-xy-x-6y^2-5y-1$
③$x^4+2x^2y^2+9y^4$

①次数の低い変数に注目して整理する
②すべての次数が等しい場合、どれかひとつの変数について整理する
③$a^2-b^2$の形を作る

①$2a^2+6ab+7a-3b-4$
 $=(6a-3)b+2a^2+7a-4$
 $=(2a-1)b+(2a-1)(a+4)$
 $=(2a-1)(a+3b+4)$
②$2x^2-xy-x-6y^2-5y-1$
 $=2x^2-(y+1)x-(6y^2+5y+1)$
 $=2x^2-(y+1)x-(3y+1)(2y+1)$
 $=(x-2y-1)(2x+3y+1))$
③$x^4+2x^2y^2+9y^4$
 $=x^4+6x^2y^2+9y^4-4x^2y^2$
 $=(x^2+3y^2)^2-(2xy)^2$
 $=(x^2+2xy+3y^2)(x^2-2xy+3y^2)$

①次数の低い変数に注目して整理してから、因数を見つけます。
 $2a^2+6ab+7a-3b-4$    この式で次数が少ないのは$b$なので$b$で整理する
 $=(6a-3)b+2a^2+7a-4$   残った$a$の二次式をたすき掛けで因数分解する
 $=(2a-1)b+(2a-1)(a+4)$  共有因子$2a-1$でまとめる
 $=(2a-1)(a+3b+4)$
 ※①問題の答えのたすき掛けを張る※

②すべての次数が等しいので、$x$について整理する。
 $2x^2-xy-x-6y^2-5y-1$
 $=2x^2-(y+1)x-(6y^2+5y+1)$  残った$y$の二次式をたすき掛けで因数分解する
 $=2x^2-(y+1)x-(3y+1)(2y+1)$  $x$の二次式をたすき掛けで因数分解する
 $=(x-2y-1)(2x+3y+1))$
 ※②問題の答えのたすき掛けを張る※

③四次式以上で$t=x^2$としても因数分解できないので、$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$の利用を考える。
 $x^4+\color{red}{2x^2y^2}+9y^4$
 $=x^4+\color{red}{6x^2y^2}+9y^4\color{red}{-4x^2y^2}$
 $=(x^2+3y^2)^2-(2xy)^2$
 $=(x^2+2xy+3y^2)(x^2-2xy+3y^2)$

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