06-01三角形の傍心(難易度1)

三角形$ABC$の重心を点$O$としたとき、以下に答えよ
(1)$∠A=50°$のとき、$∠BOC$の角度を求めよ
(2)$∠C=60°$のとき、$∠AOB$の角度を求めよ
(3)$AB=7、BC=5、CA=3$のとき、$AO$と$BC$の交点を$P$とすると$AP:PO$の比を求めよ

(1)(2)(3)傍心は内角と外角を二等分します。

(1)$∠EBC=∠A+∠ACB$
 $∠CBO=\cfrac{1}{2}(50°+∠ACB)$
 $∠FCB=180°-∠ACB$
 $∠BCO=\cfrac{1}{2}(180°-∠ACB)$
 $∠COB=180°-∠CBO-∠BCO$
   $=180°-\cfrac{1}{2}(50°+∠ACB)-\cfrac{1}{2}(180°-∠ACB)$
   $=180°-25°-90°$
   $=65$
(2)$∠ABC=180°-60°-∠A=120°-∠A$
 $∠OAB=\cfrac{1}{2}∠ABC=60°-\cfrac{1}{2}∠A$
 $∠EBC=60°+∠A$
 $∠CBO=\cfrac{1}{2}∠EBC=30°+\cfrac{1}{2}∠A$
 $∠AOB=180°-∠OAB-∠ABC-∠CBO$
   $=180°-\cfrac{1}{2}∠A-(120°-∠A)-(30°+\cfrac{1}{2}∠A)$
   $=180°-120°-30°=30°$
(3)$AB:AC=BP:PC=7:3$
 $BP=5\cdot\cfrac{7}{7+3}=\cfrac{7}{2}$
 $BA:BP=AO:OP=7:\cfrac{7}{2}=2:1$
 $AP:PO=1:1$

(1)(2)傍心は内角と外角を二等分します。
(3)内角の二等分線の比と外角の二等分線の比を使います。

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