04-02三角形の内心(難易度1)

$AB=7、BC=5、CA=3$の三角形$ABC$の内心を点$I$とし、$AI$と$BC$の交点を$P$とするとき、
$AI:IP$を求めよ

頂点から内心への直線は内角の二等分線になります。

二等分線の定理より
 $AB:AC=BP:PC=7:3$
 つまり
 $PC=5\cdot\cfrac{3}{7+3}=\cfrac{3}{2}$
 
二等分線の定理より
 $AC:PC=AI:IP=3:\cfrac{3}{2}$
 $=2:1$

三角形の頂点から内接円への直線は、内角の二等分線になることを利用します。
三角形の二等分線なので、二等分線の定理を使います。

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