03-01三角形の垂心(難易度1)

$∠A=80°$の三角形$ABC$の垂心を点$H$とするとき、∠$BHC$の角度を求めよ

直角三角形ができます。

直線$BH$を伸ばし、辺$AC$と交わる点を$P$とすると$∠APB=90°$
三角形$APB$の内角の和が$180°$なので
 $∠ABP=180°-90°-60°=30°$
直線$CH$を伸ばし、辺$AB$と交わる点を$Q$とすると$∠AQC=90°$
三角形$AQC$の内角の和が$180°$なので
 $∠ACQ=180°-90°-60°=30°$
三角形$ABC$の内角の和が$180°$なので
 $∠HBC+∠HCB=180°-∠A-∠ABP-∠ACQ$
    $=180°-60°-30°-30°=60°$
三角形$HBC$の内角の和が$180°$なので
$∠BHC=180°-(∠HBC+∠HCB)=180°-60°$
  $=120$°

三角形の頂点から対辺への垂線は、垂心を通り直角に交わることを利用します。

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