02-01三角形の外心(難易度1)

$∠A=80°$の三角形$ABC$の外心を点$O$とするとき、以下の角度を求めよ
(1)∠$BOC$  (2)∠$OCB$

円周角と中心角の関係があります。

∠$A$が$BC$の円周角のため、円周角と中心角の定理より
 $∠BOC=2∠A=160°$
$OB=OC$より
 $∠OCB=∠OBC$
三角形の内角の和が$180°$なので
 $180°=160°+∠OCB+∠OBC=160°+2∠OCB$
$∠OCB=10°$

三角形の外接円には以下の性質があるので、以下のどれかを利用します。
この問題では、③と②を利用しています。
①中心点$O$と頂点は同じ距離になるので
 $OA=OB=OC=r$
②二等辺三角形ができるので
 $∠OAB=∠OBA、∠OBC=∠OCB、∠OAC=∠OCA$
③三角形の辺が円周角になるので、中心角が$2$倍
 $∠BOC=2∠A、∠AOC=2∠B、∠AOB=2∠C$
④三角形の辺が円周角になるので、辺の垂直二等分線が中心を通る

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