09-01三角関数で理解しておきたいこと

三角関数において特に理解しておきたいところでは、$\cos、\sin、\tan$の定義、正弦定理、余弦定理
を理解して身につける必要があります。

1.$\cos、\sin、\tan$の定義
(1)直角三角形を使った定義
  $\cos\theta、\sin\theta、\tan\theta$は、直角三角形の辺の長さで以下のように定義されます。
  覚え方は、$c,s,t$の筆記体の形というように覚えるのが良いです。
  

(2)半径$1$の円を使った定義
  $\cos\theta、\sin\theta$は、半径$1$の円周との交点で定義されます。
  $x$座標が$\cos\theta$、$Y$座標が$\sin\theta$になります。
  $tan\theta$は、$x=1$の軸との交点で定義され、$y$座標が$tan\theta$になります。
  

2.$\cos、\sin、\tan$の性質
 (1)相互関係
  最低限覚えておくのは以下2つです。
  ①$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
   ※二次方程式で隠れた条件としてよく問題で使われます。
  ②$\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
  ただ、①を$\cos^2\theta$で割って求められる$\tan$と$\cos$の関係もよく使うので、覚えておくと楽です。
  ③$\tan^2\theta+1=\cfrac{1}{\cos^2\theta}$
  
 (2)角度をずらす
  法則を忘れてしまったら、半径$1$の円を描き、$\cos\theta$と$\sin\theta$の座標の移動先からわかります。
  また、$\tan\theta$は、$\cos\theta$と$\sin\theta$の関係からわかります。
  ①$90°+\theta$
   $\cos(90°+\theta)=-\sin\theta$
   $\sin(90°+\theta)=\cos\theta$
   $\tan(90°+\theta)=-\cfrac{1}{\tan\theta}$
   
   $\cos\theta$の座標が$90°$ずれると$-\sin\theta$になるので、$\cos(90°+\theta)=-\sin\theta$とわかります。

  ②$90°-\theta$
   $\cos(90°-\theta)=\sin\theta$
   $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$
   $\tan(90°-\theta)=\cfrac{1}{\tan\theta}$
   
   $\cos\theta$の座標が$90°$ずれると$\sin\theta$になるので、$\cos(90°-\theta)=\sin\theta$とわかります。

  ③$180°+\theta$
   $\cos(180°+\theta)=-\cos\theta$
   $\sin(180°+\theta)=-\sin\theta$
   $\tan(180°+\theta)=\tan\theta$
   
   $\cos\theta$の座標が$180°$ずれると$-\cos\theta$になるので、$\cos(180°+\theta)=-\cos\theta$とわかります。

  ④$180°-\theta$
   $\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$
   $\sin(180°-\theta)=\sin\theta$
   $\tan(180°-\theta)=-\tan\theta$
   
   $\cos\theta$の座標が$180°$ずれると$-\cos\theta$になるので、$\cos(180°+\theta)=-\cos\theta$とわかります。

3.正弦定理、余弦定理
 (1)正弦定理
  三角形の外接円と三角形の辺や角に対して成り立つ定理です。
   $\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=2R$
 (2)余弦定理
  三角形の2辺とその間の角ともう一つの辺に対して成り立つ定理です。
   $a^2=b^2+b^2-2bc\cos A$
  よく使うので、以下の変形も覚えておきましょう。
   $\cos A=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

4.三角形の性質
 (1)辺の長さの性質
  三角形であるためには以下の式が成り立つ
  $|b-c|<a<b+c$
   ※長辺がどの辺でも関係なく成り立ちます。
  
 (2)三角形を確定させる要素
  以下の辺や角度の要素が決まると、三角形の形状は確定します。
  形状が確定するということは、その他の辺や角度も正弦定理や余弦定理で確定できます。
  ①1辺とその両端の角
  ②2辺とその間の角
  ③3辺
   

5.三角形の面積$S$
 (1)$\sin$を使った求め方
  $S=\cfrac{1}{2}bc \sin A$
 (2)3辺の長さを使った求め方
  $s=\cfrac{1}{2}(a+b+c)$とすると
  $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
 (3)内接円の半径rを使った求め方
  $\cfrac{1}{2}r(a+b+c)$
   

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする