08-02反復試行の確率(難易度2)

図のような碁盤の目の通路があります。サイコロをふり$1$か$2$が出たら右に移動し、$3~6$が出たら上に移動します。
ただし、右端で$1$や$2$が出た場合や上端で$3~6$が出た場合は、そのまま待機します。

(1)$8$回で点$A$から点$B$に移動できる確率を求めよ。
(2)$8$回で点$C$を経由し、点$A$から点$B$に移動できる確率を求めよ。

(1)(2)何が何回でたら、移動できるか考えましょう。

(1)$8$回で点$A$から点$B$に移動できるのは、右移動$4$回、上移動$4$回のとき
 右移動が出る確率は$\cfrac{2}{6}$、上移動の確率は$\cfrac{4}{6}$のため
 $8$回で点$A$から点$B$に移動する確率は
  ${}_{8}C_{4}\left(\ \cfrac{2}{6}\right)^4\left(\ \cfrac{4}{6}\right)^4$
   $=\cfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot\cfrac{2^4}{3^8}$
   $=\cfrac{70}{2187}$
(2)$8$回で点$A$から点$C$を経由し点$B$に移動するためには、
 $4$回で点Aから点Cに移動し、その後$4$回で点$C$から点$B$に移動する必要がある
 $4$回で点$A$から点$C$に移動できるのは、右移動$1$回、上移動$3$回のときのため、確率は
  ${}_{4}C_{1}\left(\ \cfrac{2}{6}\right)^1\left(\ \cfrac{4}{6}\right)^3$
   $=4\cdot\cfrac{2^3}{3^4}$
 $4$回で点$C$から点$D$に移動できるのは、右移動$3$回、上移動$1$回のときのため、確率は
  ${}_{4}C_{3}\left(\ \cfrac{2}{6}\right)^3\left(\ \cfrac{4}{6}\right)^1$
   $=4\cdot\cfrac{2}{3^4}$
 つまり、求める確率は
  $=4\cdot\cfrac{2^3}{3^4}\cdot4\cdot\cfrac{2}{3^4}$
   $\cfrac{256}{6561}$


(1)(2)碁盤の目の移動を右移動と上移動の回数で言い換えることができれば、
 あとは、反復試行の法則をつかって解くことができます。

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