08-01反復試行の確率(難易度1、2)

赤玉$4$個、白$2$個の入った袋から玉を取り出し、色を記録します。その後、その玉を袋に戻しことを$5$回繰り返します。
(1)赤玉が$3$回記録される確率を求めよ
(2)赤玉が$2$回以上記録される確率を求めよ。

(1)(2)独立試行の確率の求め方を使いましょう

(1)$5$回中$3$回赤玉を引き、白を$2$回引く確率のため
 ${}_{5}C_{3} \left( \cfrac{4}{6} \right)^3 \left( \cfrac{2}{6} \right)^2$
 $=\cfrac{5\cdot4\cdot2^3\cdot1^2}{2\cdot1\cdot3^3\cdot3^2}$
 $=\cfrac{80}{243}$
(2)$5$回中$0$回赤玉を引く確率は
  $\left( \cfrac{2}{6} \right)^5$
  $=\cfrac{1}{3^5}$
 5回中1回赤玉を引く確率は
 ${}_{5}C_{1} \left( \cfrac{4}{6} \right)^1 \left( \cfrac{2}{6} \right)^4$
 $=\cfrac{5\cdot2}{\cdot3^1\cdot3^4}$
  $=\cfrac{10}{3^5}$
 つまり、求める確率は
  $1-\cfrac{1}{3^5}-\cfrac{10}{3^5}=\cfrac{232}{243}$

(1)確率$p$の事象を$n$回実施したうち$r$回起こる確率は
 ${}_{n}C_{r}p^r(1-p)^{n-r}$となることを利用します。
(2)$2$回以上とは、「$2$回か$3$回か$4$回である」、もしくは「$0$回か$1$回でない」となるので
場合分けが少ない「$0$回か$1$回でない」で求める方が楽です。
 

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