06-01和事象、余事象の確率(難易度2)

$12$本のくじのうち、$4$本が当たりとする。このくじ$4$本引くとき、$2$本以上あたりを引く確率を求めよ

$2$本以上あたりがあるということは、$0$本か$1$本でないということ

$12$本のくじから$4$本を引く方法は
 ${}_{12}C_{4}$通り
$2$本以上あたりがあるということは、あたりが$0$本か$1$本ではないということなので
 [1]あたりが$0$本となるのは、外れ$8$本のうち$4$本を引くことなので
  ${}_{8}C_{4}通り$
 [2]あたりが1本となるのは、あたり4本のうち1本引き、外れ8本のうち3本を引くことなので
  ${}_{4}C_{1}\cdot{}_{8}C_{3}$通り
 つまり、求める確率は
 $1-\cfrac{{}_{8}C_{4}+{}_{4}C_{1}\cdot{}_{8}C_{3}}{{}_{12}C_{4}}$
 $=1-\left(\cfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}+\cfrac{4\cdot8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} \right )\cdot \cfrac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9}$
 $=1-\cfrac{70+224}{495}$
 $=\cfrac{201}{495}$


$2$本以上あたりを引くとは、「2本か3本か4本である」、もしくは「0本か1本でない」となるので
場合分けが少ない「0本か1本でない」で求める方が楽です。

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