04-02トランプの組み合わせの確率(難易度2、3)

1組のトランプの絵札である$11、12、13$のカード$12$枚から$3$枚を任意に取り出すとき、次の確率を求めよ
(1)すべて同じ数字になる確率
(2)すべてのマークが異なる確率
(3)すべての数字が異なり、かつ、すべてのマークが異なる確率

(1)マークのことを気にせず、数字だけを考えましょう
(2)数字のことを気にせず、マークだけを考えましょう
(3)マーク、数字を順番に考えよう

(1)
 [1]$12$枚のカードから$3$枚を取り出す方法
  ${}_{12}C_{3}$通り・・・①
 [2]すべて同じ数字を取り出す方法
  同じになる数字は、$11$か$12$か$13$の$3$通り
  その数字は、4枚の中から$3$枚を取り出すので${}_{4}C_{3}$通り
  よって、$12$枚のカードから同じ数字を$3$枚を取り出す方法は
   $3\cdot{}_{4}C_{3}$通り
 つまり、求める確率は
  $\cfrac{3\cdot{}_{4}C_{3}}{{}_{12}C_{3}}=3\cdot4\cdot\cfrac{3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10}$
  $=\cfrac{3}{55}$
(2)
 [3]すべてのマークが異なる方法
  $3$枚のマークの選び方が$4$種類中$3$種類となるので
   ${}_{4}C_{3}$通り
  各々のマークに対する数字の選び方は、$3$通りを$3$種選ぶので
   $3^3$通り
  よって、すべてのマークが異なる方法は
   ${}_{4}C_{3}\cdot3^3$通り
 つまり、求める確率は
  $\cfrac{{}_{4}C_{3}\cdot3^3}{{}_{12}C_{3}}=4\cdot3^3\cdot\cfrac{3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10}$
  $=\cfrac{27}{55}$
(3)
 [4]すべての数字が異なり、かつ、すべてのマークが異なる方法
  マークの選び方は、4種類から3種類を選ぶ組み合わせなので
   ${}_{4}C_{3}$通り
  マーク対する数字の選び方は、
  1つ目のマークは$3$種類から選び、次は残り$2$種類から、最後は1種類となるので
   $3!$通り
  よって、すべての数字が異なり、かつ、すべてのマークが異なる方法は、
   ${}_{4}C_{3}\cdot3!$通り
 つまり、求める確率は
  $\cfrac{{}_{4}C_{3}\cdot3!}{{}_{12}C_{3}}=4\cdot3\cdot2\cdot\cfrac{3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10}$
  $=\cfrac{6}{55}$
  

カードに数字のマークがあるので、難しいように思えますが、
問題に関係ある条件だけに注意を払えば、(1)(2)簡単な問題になります。

(1)すべて同じ数字になる確率なので、マークは関係ありません。
つまり、$11、12、13$のカードが各々$4$枚の計$12$枚の中から、同じ数字のカードを$3$枚取り出す確率である。
では、細かく同じ数字のカードを$3$枚取り出すときの場合の数を考えていきます。
 ①$3$枚が同じ数字にするには、$11$を$3$枚、$12$を$3$枚、$13$を$3$枚を取り出すしか方法がありません。
  $11、12、13$は同じ枚数なので、仮に$11$を$3$枚取り出す場合の数を求めることができたら、
  その$3$倍が全体の場合の数となります。
 ②$11$を$3$枚取り出す場合の数は、$4$枚の中から$3$枚選ぶので、場合の数は${}_{4}C_{3}$通りになる。
 ③つまり、$3\cdot{}_{4}C_{3}$通りになる。

(2)すべてのマークが異なる確率なので、数字は関係ありません
つまり、ハート、スペード、クラブ、ダイヤのカードが各々$3$枚の計$12$枚の中から、
異なるマークのカードを$3$枚取り出す確率である。
では、細かく異なるマークのカードを$3$枚取り出すときの場合の数を考えていきます。
 ①異なるマークのカード3枚にするには、4つのマークのうち3つのマークを選ぶ必要があります。
  つまり、マークの組み合わせは、{}_{4}C_{3}通りあることになります。
  仮に、3枚のマークがハート、スペード、クラブだとしたときの場合の数がわかれば、
  その場合の数の${}_{4}C_{3}$倍が、全体の場合の数になります。
 ②ハート、スペード、クラブの3枚を取り出す場合の数を考えます。
  マークはどれも、3枚のうち1枚を選ぶことになるので
   $3^3$通りとなります。
 ③つまり、${}_{4}C_{3}\cdot3^3$通りになる。
 
(3)は、(2)の考え方を途中まで使います。
 異なるマークを選ぶので、(2)の①は同じです。
 ②「ハート」「スペード」「クラブ」の3枚を取り出す場合の数で考えます。
  ただ、異なる数字を選ばなければいけないので、ハートは3種類の中から1つを選び、
  スペードは残り2種類の中から1つを選び、クラブは残った数字1種となるので
  $3!$通りとなります。
 ③つまり、${}_{4}C_{3}\cdot3!$通りとなる。

<別解>マークと数字の絞り方を逆にしても、同じ答えになります。
 [4]すべての数字が異なり、かつ、すべてのマークが異なる方法
  数字の選び方は、$(11、12、13)$の$1$通り
  各々の数字に対するマークの選び方は、
  $11$は$4$種類から選び、$12$は残り$3$種類から、$11$は残り$2$種類選ぶことになるので
   ${}_{4}P_{3}$通り
  よって、すべての数字が異なり、かつ、すべてのマークが異なる方法は、
   ${}_{4}P_{3}$通り
 つまり、求める確率は
  $\cfrac{{}_{4}P_{3}}{{}_{12}C_{3}}=4\cdot3\cdot2\cdot\cfrac{3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10}$
  $=\cfrac{6}{55}$
 

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