02-01数式の因数分解で特に理解しておきたいところ

数式の因数分解で特に理解しておきたいところでは、以下のような法則や公式があります。
因数分解の公式は、展開式の逆になっているだけなので、しっかり覚える必要があります。
因数分解では、共通の積を見つけるためのコツがあるため、慣れておきましょう。

1.二次式の因数分解の公式
 ①$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
 ②$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
 ③$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
 ④$acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2=(ax+by)(cx+dy)$
  ④の因数分解では$a,b,c,d$を見つけるためにたすき掛けを用います。
  

  (例)$3x^2+16x-12$を因数分解する場合、$x^2$の項と定数項の約数に注目します。
  $x^2$の項は、$3=1*3$なので$ac$の組み合わせは、$1$と$3$になります。
  このとき、マイナスは$b$と$d$で調整するため考えなくて良いです。
  定数項は、$12=(-1) \times 12,1 \times (-12),(-2) \times 6,2 \times (-6),(-3) \times 4,3 \times (-4)$なので、
  $bd$の組み合わせはこのどれかになります。
  ここから、以下のようにたすき掛けをし、一致するものが解となります
  ただし、$a$と$b$や$c$と$d$のように横に並んだ数字に$1$以外の公約数を持つ場合は、
  その組み合わせを考える必要ありません。
  なぜなら、$a$と$b$に$1$以外の公約数があった場合、$3x-3$のようになり$3(x-1)$と
  その数を外に出すことができるためです。
  以下のように、たすき掛けをし、$3x^2+16x-12$と一致する$(3x-2)(x+6)$が解となります。

  
2.三次式の因数分解の公式
 ①$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
 ②$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
 ③$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
 ④$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

3.その他よく使う展開式
 ②$a+b+c=0$の場合、$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$
  となることを利用し、$a^3+b^3+c^3=3abc$となる
  
4.因数を見つけるための工夫
 ①次数の低い変数に注目して整理すると、その係数に因数が含まれる場合がある
 ②4次式以上では、$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$を利用するように変形する場合がある。

5.注意点
 ①自分が導いた回答の中に二次式以上があった場合、さらに因数分解できる場合があるので、
  注意が必要です。
 ②$1$は、$1^3=1^2=1$となるので、注意しましょう。(たとえば、$9$なら$3^2$とすぐわかるが、
  $1$が$1^2$と気づきにくい)

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