08-02グループに分ける組み合わせ(難易度2)

$9$人の生徒を以下のように分けたとき、何通りの分け方があるでしょう。
(1)$3$人ずつ$A$グループ、$B$グループ、$C$グループに分ける
(2)$5$人、$2$人、$2$人に分ける

(1)組み合わせの法則を使いましょう
(2)グループに名前がついていないので、気をつけよう。

(1)$A$は$9$人から$3$人選び、$B$は残り$6$人から$3$人選ぶと、$C$は自動的に決まるので
  ${}_{9}C_{3}\cdot{}_{6}C_{3}=\cfrac{9!}{6!3!}\cdot\cfrac{6!}{3!3!}$
  $=\cfrac{9!}{3!3!3!}=\cfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1}$
  $=1680$通り
(2)仮に$5$人を$A$グループ、$2$人を$B$グループ、$2$人を$C$グループにわけるとすると
 $A$は$9$人から$5$人選び、$B$は残り$4$人から$2$人選ぶと、$C$は自動的に決まるので
  ${}_{9}C_{5}\cdot{}_{4}C_{2}=\cfrac{9!}{5!4!}\cdot\cfrac{4!}{2!2!}$
  $=\cfrac{9!}{5!2!2!}=\cfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{2\cdot1\cdot2\cdot1}$
  $=756$通り
 また、$B$と$C$は同じ人数で区別しなくてよいので
  $=756÷2=378$通り

(1)複数のグループに分ける場合は、数回に分けて人数を選んでいきましょう。
 慣れないうちは順列から求める方法でもよいが、組み合わせの考え方を使えた方が、
 後々、問題を簡単に解けるようになります。

<順列での考え方>
 $9$人を順番に並べ、最初の$3$人を$A$グループ、次の$3$人を$B$グループ、最後の$3$人を$C$グループと考える。
 $9$人を並べる場合の数は、$9!$通り
 しかし、$A$グループ内で$3$人の並びが違っても同じなので、$3!$通りが同じになる。
 $B$グループ、$C$グループでも同様に$3!$通りが同じになる
 つまり、$3$人ずつ$A$グループ、$B$グループ、$C$グループに分ける場合の数は、
  $\cfrac{9!}{3!3!3!}$通り
 となり、答えが同じになります。

(2)グループに名前がない場合、同じ人数のグループに区別がなくなります。
 グループ分けの問題では、グループに名前がついているか注意しましょう。

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