03-02隣り合う指定がある順列(難易度3)

男$3$人、女$4$人の$7$人を次のよう並べる場合、並べ方は何通りあるか。
(1)男が隣り合わないように7人が1列に並ぶ
(2)男のうち$2$人だけが隣り合うように$7$人が1列に並ぶ

(1)(2)隣り合わないものだけ先に並べてみよう

(1)男が隣り合わないように$7$人が1列に並ぶとは、
 女$4$人を最初に並べ、その女$4$人の間と両端に男を入れると考えると
 女$4$人を並べる方法は
  $4!=4\times3\times2\times1=24$通り
 隙間と両端の5か所に男を入れる方法は
  ${}_{5}P_{3}=5\times4\times3=60$通り
 つまり
  $24\times60=1440$通り
(2)男のうち$2$人だけが隣り合うように$7$人が1列に並ぶとは、
 とは、男$2$人のセットと、男$1$人が隣り合わないで並ぶということなので
 女$4$人を最初に並べ、その女$4$人の間と両端に、男$2$人のセットと男$1$人を入れると考えると
 女$4$人を並べる方法は
  $4!=4\times3\times2\times1=24$通り
 隙間と両端の$5$か所に、男$2$人のセットと男$1$人を入れる方法は
  ${}_{5}P_{2}=5\times4=20$通り
 男$2$人のセットは男$3$人の中から並べるので
  ${}_{3}P_{2}=3\times2=6$通り
 つまり
  $24\times20\times6=2880$通り

(1)この問題は、以下のように考えて場合の数を求めます。
 ①◇女◇女◇女◇女◇のように女だけを並べます。
 ②◇の部分に男を入れていくと、男が隣り合うことがないと考えます。
  1番目の男は$5$か所の◇のどこかに入り、
  2番目の男は残り$4$か所の◇のどこかに入り、
  3番目の男は残り$3$か所の◇のどこかに入ります。
  男が入らなかった◇は誰もいない空欄と考えます。
 ①②を積の法則で場合の数を求めます。

(2)この問題は、以下のように考えて場合の数を求めます。
 男のうち2人だけが隣り合うとは、男2人と、もう1人の男と隣り合わないと考えます。
 つまり、隣り合う男をセットともう1人の男が隣り合わないと考えます。
 隣り合わない並びは、(1)と同じで
  ①◇女◇女◇女◇女◇のように女だけを並べます。
  ②◇の部分に$\fbox{男男}$のセットと$\fbox{男}$を入れていきます。
   1番目の$\fbox{男男}$は$5$か所の◇のどこかに入り、
   2番目の$\fbox{男}$は残り$4$か所の◇のどこかに入ります。
  ③$\fbox{男男}$の左側は男$3$人から選び、右側は残り$2$名から選ぶ方法があるので
  ①②③を積の法則で場合の数を求めます。

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