02-03n桁の倍数の数字を作る順列(難易度2)

$0、2、3、4、5、6、7$の$7$個の数字から異なる4個の数字を取ったとき、以下に答えよ。
(1)$4$桁の数字は全部で何通りできるか
(2)$4$の倍数となる$4$桁の数字は何通りできるか。
(3)$9$の倍数となる$4$桁の数字は何通りできるか。
(4)$3500$以上の$4$桁の数字は何通りできるか。

(1)最上位の数字に注意しましょう。
(2)下二桁の数字に注目しましょう。
(3)9の倍数になるということは、各桁の数を足すとどうなるかに注目しましょう。
(4)場合分けを考えましょう

(1)千の位は$0$でないため$6$通り
 百以下の位は残り$6$個から異なる$3$個の数字を並べるので
 ${}_{6}P_{3}=6\cdot5\cdot4=120$通り
 つまり$6\times120=720$通り

(2)$4$の倍数となるのは、下二桁の数字が$4$の倍数になるので、
 $04、20、24、32、36、40、52、56、60、64、72、76$のどれかである。
 [1]下二桁に$0$が含まれる場合
  $04、20、40、60$の$4$通りあり
  上位二桁は、残り$5$個のうち異なる$2$個を並べるので
   ${}_{5}P_{2}=5\cdot4=20$通り
  つまり、$20\times4=80$通り
 [2]下二桁に$0$が含まれない場合
  $24、32、36、52、56、64、72、76$の$8$通りあり
  千の位は、下二桁と$0$以外の残り$4$個の$4$通り
  百の位は、その他の位と異なる残り$4$個の$4$通り
  つまり、$8\times4\times4=64$通り
 [1][2]より
  $80+64=144$通り

(3)$9$の倍数になるのは、各桁の数字の合計が$9$の倍数になるので
 $(0、2、3、4)、(0、5、6、7)、(2、3、6、7)、(2、4、5、7)、(3、4、5、6)$
 の数字を使うときである。
 [1]$0$が含まれる場合
  $(0、2、3、4)、(0、5、6、7)$の$2$通りあり
  千の位は、$0$でないため、それ以外の$3$個うちのどれかの$3$通り
  百以下の位は、残り$3$個から異なる$3$個の数字を並べるので
   $3!=3\cdot2\cdot1=6$通り
  つまり$2\times3\times6=36$通り
 [2]$0$が含まれる場合
  $(2、3、6、7)、(2、4、5、7)、(3、4、5、6)$の$3$通りあり
  $4$個から異なる$4$個の数字を並べるので
   $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$通り
  つまり$3\times24=72$通り
 [1][2]より
  $36+72=108$通り

(4)$3500$以上となるためには、以下である必要がある。
 $35△△、36△△、37△△$
 $4△△△、5△△△、6△△△、7△△△$
 [1]千の位が$3$の場合
  百の位は$5、6、7$の$3$通り
  十以下の位は残り$5$個のうち異なる$2$個を並べるので
   ${}_{5}P_{2}=5\cdot4=20$通り
  つまり、
   $3\times20=60$通り
 [2]千の位が$4$以上の場合
  千の位は$4、5、6、7$の$4$通り
  百以下の位は残り$6$個のうち異なる$3$個を並べるので
   ${}_{6}P_{3}=6\cdot5\cdot4=120$通り
  つまり、
   $4\times120=480$通り
 [1][2]より
  $60+480=540$通り


(1)最上位は$0$にできないという暗黙の条件があるので、千の位とそれ以下の位を分けて考えていきます。

(2)$4$の倍数は下二桁が$4$であればよいので、上位二桁と下位二桁を分けて考えていきます。
 下二桁に対して、簡単なルールで場合の数を算出できないので、調べるしか方法がないです。
 また、最上位は$0$にできないため、下位$2$桁で$0$を使っている場合と、使っていない場合で分けます。

(3)$9$の倍数になるのは、各桁の数字の合計が9の倍数であればよいです。
 各桁の数字の合計が$9$の倍数になる組み合わせは、簡単なルールで場合の数を算出できないので、
 調べるしか方法がないです。
 また、最上位は$0$にできないため、$0$を含む場合と含まない場合で分けます。

(4)$3500$以上となるためには、千の位の数字と百の位の数字が$35$以上であればよいので、
 その場合について考えていきます。

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