01-03場合の数(約数の数)(難易度1)

$2400$の正の約数は何個あるか。また、その約数の総和はいくつになるか。

素因数分解をして考えましょう。

$2400=2^5\times3\times5^2$より
$2400$の約数は$2^a\times3^b\times5^c$で表すことができる。
約数は、
$a=0、1、2、3、4、5$の$6$通りのどれか
$b=0、1$の$2$通りのどれか
$c=0、1、2$の$3$通りのどれか
になるため、$6\times2\times3=36$通り

$2400$の約数は、以下の式を展開した項に現れる
 $(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+3^1)(1+5^1+5^2)$
そのため、総和は
 $(1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+3^1)(1+5^1+5^2)$
  $=(1+2+4+8+16+32)(1+3)(1+5+25)$
  $=63 \cdot 4 \cdot 31$
  $=7812$


約数を求めるときはまず、素因数分解をして、その因数の掛け合わせが約数となります。
$2400$の約数は$2^a\times3^b\times5^c$と表すと
$a$が$0,1,2,3,4,5$の$5$通りおのおのに対して、$b$が$0,1$の$2$通りがあり、
さらに、そのおのおのに対して、$c$が$0,1,2$の$3$通りあるので、積の法則を使って場合の数を求めます。

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