08-02背理法を使った証明(難易度2)

整数$a、b、c$において$a^2+b^2=c^2$が成り立つとき、$a、b$の少なくとも一方が$3$の倍数であることを証明せよ

背理法をつかおう。

$a、b$を3の倍数でないと仮定すると
$a=3p\pm1、b=3q\pm1$($p$、$q$は整数)で表すことができる。
$a^2+b^2=(3p\pm1)^2+(3q\pm1)^2$
 $=(9p^2 \pm 6p+1)+(9q^2 \pm 6q+1)$
 $=3(3p^2 \pm 6p+3q^2 \pm 6q)+2$
となり、$a^2+b^2$は、$3$で割ると$2$あまる数となる。

[1]$c$が3の倍数のとき、$c=3l$($l$は整数)と表せる。
 $c^2=(3l)^2$
 $=9l^2$
 $=3(3l^2)$
 となり、$c^2$は$3$で割り切れる・・・①
[2]$c$が3の倍数のとき、$c=3l\pm1$($l$は整数)と表せる。
 $c^2=(3l\pm1)^2$
 $=(9l^2\pm6l+1)$
 $=3(3l^2\pm2l)+1$
 となり、$c^2$は、$3$で割ると$1$あまる数となる・・・②

①②は、左辺が$3$で割ると$2$あまる数であることと矛盾する。
整数$a、b、c$において$a^2+b^2=c^2$が成り立つとき、$a、b$の少なくとも一方が$3$の倍数である


3の倍数であることの証明でよく使う方法として、$a=3k、3k\pm1$とおくことがよくあります。
$a=3k、3k+1、3k+2$とおいてもよいですが、四則演算する際、
数値が小さい方が計算しやすいため、$a=3k、3k\pm1$とおきます。
また、5の倍数では、$a=5k、5k\pm1、5k\pm2$とおきます。

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