08-01背理法を使った証明(難易度1)

$\sqrt{5}$が有理数でないことを証明せよ。ただし、$n^2$が$5$の倍数のとき$n$が$5$の倍数であることを利用してよい。

背理法をつかおう。

$\sqrt{5}$が有理数と仮定すると、
$\sqrt{5}=\cfrac{p}{q}$と表せる。($p$,$q$は互いに素の整数)
$\sqrt{5}q=p$
両辺を二乗して
$5q^2=p^2$   ・・・①
$p^2$が$5$の倍数のため$p$は$5$の倍数である。
つまり$p=5k$($k$は整数)で表すことができる。
①に代入して
$5q^2=(5k)^2=25k^2$
$q^2=5k^2$
$q^2$が$5$の倍数のため$q$は$5$の倍数である。
$p$と$q$が5の倍数であることは、$p$と$q$は互いに素である仮定と矛盾する。
すなわち、$\sqrt{5}$は無理数である。


この問題の証明は、有理数でないことを証明する問題でよく使い手法です。
コツとしては、有理数を$\cfrac{p}{q}$で表し、無理数をうまく無くすことが証明のコツになります。
いくつかパターンがあるので、覚えておきましょう。

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