07-01対偶を使った証明(難易度1)

以下について、対偶を用いて証明せよ
(1)$a+b>2$のとき、「$a>1$または$b>1$」である。
(2)$mn$が3の倍数のとき、$m$または$n$のどちらかが3の倍数である。

(2)3の倍数を$k$をつかって表すとどうなるか考えよう。

(1) 命題の対偶は、
  「$a≦1$かつ$b≦1$」のとき$a+b≦2$である。
  「$a≦1$かつ$b≦1$」のとき、両辺の和から、$a+b≦2$となる。
  対偶が真であるため、与えられた命題も真である。
  
(2) 命題の対偶は、
  $m$と$n$が3の倍数でないとき、$mn$が3の倍数でない

  $m$と$n$は$3$の倍数でないため、$k$、$l$を整数として
  $m=3k\pm 1、n=3l\pm 1$と表すことができる。
  
  $mn=(3k \pm 1)(3l \pm 1)$
   $=9kl \pm3 k \pm3 l+1$
   $=3(3kl \pm k \pm l)+1$
  となるため$mn$は3の倍数でない。
  対偶が真であるため、与えられた命題も真である。


「$a+b$」や「$mn$」などの計算した結果から、証明していくのは難しいので、対偶での証明を考えます。
直接での証明が難しいと感じたら、対偶での証明か背理法での証明を考慮しましょう。

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