03-02要素の数(難易度2)

$1~100$までの自然数のうち、以下の条件を満たす集合の個数を求めよ
(1)$2$または$3$または$5$で割り切れる
(2)$2$でも$3$でも$5$でも割り切れない
(3)$2$または$3$で割り切れるが、$5$で割り切れない

(3)は、(1)(2)を利用しましょう

(1)$A=\{x|xは2で割り切れる\}、B=\{x|xは3で割り切れる\}、C=\{x|xは5で割り切れる\}$とおくと
 求める個数は、$n(A∪B∪C)$である
  $A=\{1\times2、2\times2、・・・、50\times2\}$
  $B=\{1\times3、2\times3、・・・、33\times3\}$
  $C=\{1\times5、2\times5、・・・、20\times5\}$
  $A∩B=\{1\times6、2\times6、・・・、16\times6\}$
  $B∩C=\{1\times15、2\times15、・・・、6\times15\}$
  $C∩A=\{1\times10、2\times10、・・・、10\times10\}$
  $A∩B∩C=\{1\times30、2\times30、3\times30\}$
  $n(A)=50、n(B)=33、n(C)=20$
  $n(A∩B)=16、n(B∩C)=6、n(C∩A)=10$
  $n(A∩B∩C)=3$
 $n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)$
   $=50+33+20-16-6-10+3$
   $=74$

(2)$n(\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C})$
 $=n(\overline{A∪B∪C})$
 $=n(U)-n(A∪B∪C)$
 $=100-74$
 $=26$

(3)$n(A∩B∩\overline{C})$
 $=n(A∩B∩U)-n(A∩B∩C)$
 $=n(A∩B)-n(A∩B∩C)$
 $=16-3$
 $=13$


(1)和集合の数を数えるのは難しいため、共通部分の数を利用しましょう。
(2)(3)補集合の数を数えにくい場合は、ド・モルガンの法則をつかって数えやすい形に変形しましょう。

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