10-01円すいに接する球の体積(難易度2)

底面の半径$\sqrt{3}$、高さ$3$の円すいが、球$O$と側面で接し、底面の中心$M$でも接している。
このときの球$O$の体積$V$を求めよ

断面図を書いて、球の半径を求めよう。

円すいと球の中心を通る断面図は下図のようになる。

断面図の三角形を三角形$ABC$とすると
$AB=\sqrt{BM^2+AM^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+6^2}=\sqrt{39}$

三角形$ABC$の面積は
$\cfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AM$もしくは
$\cfrac{1}{2} r (AB+BC+CA)$で求めることができる。
つまり、
$\cfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AM=\cfrac{1}{2} r (AB+BC+CA)$
$\cfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6=\cfrac{1}{2} r (\sqrt{39}+2\sqrt{3}+\sqrt{39})$
$12\sqrt{3}=r (2\sqrt{39}+2\sqrt{3})$
$r=\cfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{39}+\sqrt{3}}$
 $=\cfrac{6\sqrt{3}(\sqrt{39}-\sqrt{3})}{(\sqrt{39}+\sqrt{3})(\sqrt{39}-\sqrt{3})}$
 $=\cfrac{6(3\sqrt{13}-3)}{36}$
 $=\cfrac{\sqrt{13}-1}{2}$

つまり球$O$の体積$V$は
$\cfrac{4}{3} \pi r^3$
 $=\cfrac{4}{3} \pi \cfrac{(\sqrt{13}-1)^3}{2^3}$
 $=\cfrac{4}{3} \pi \cfrac{13\sqrt{13}-3\cdot13+3\sqrt{13}-1}{2^3}$
 $=\cfrac{4(16\sqrt{13}-40)}{3\cdot2^3}\pi$
 $=\cfrac{8\sqrt{13}-20)}{3}\pi$


立体で考えるのは難しいので、断面図を使って考えます。
この問題の場合、球と円すいが接している部分で方程式が成り立ちそうなので、その断面図を考えます。

三角形$ABC$の面積を「底辺×高さ」と「三角形$AOB$+三角形$BOC$+三角形$COA$」で求め、
等しいことを利用し、球$O$の半径$r$を求めます。

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