09-01台形の面積(難易度2)

以下の条件である$AB//BC$の台形$ABCD$の面積$S$を求めよ
$AB=4、BD=6、BC=9、∠A=120°$

台形の面積の公式「$\cfrac{1}{2}(AD+BC)\times$高さ」に必要な値をどのように出すか考えましょう。

余弦定理より
$BD^2=AB^2+AD^2-2AB \cdot AD \cos A$
$6^2=4^2+AD^2-2 \cdot 4 AD \cos120°$
$AD^2-4AD-20=0$
$AD=2\pm \sqrt{2^2+20}$
 $=2\pm 2\sqrt{6}$
$AD>0$より
$AD=2+\sqrt{6}$

$A$から$BC$への垂線を$AH$とする

$AH=ABsin∠ABC=4\sin60°=2\sqrt{3}$

$S=\cfrac{1}{2}(AD+BC)\cdot AH$
$S=\cfrac{1}{2}(2+\sqrt{6}+9)\cdot 2\sqrt{3}$
$S=3\sqrt{2}+11\sqrt{3}$


台形の図形を描いてみると、台形の面積の公式「$\cfrac{1}{2}(AD+BC)\times$高さ」から面積を算出する方法と
三角形$ABD$と三角形$BCD$の面積を合計して算出する方法を思いつくと思います。

台形の面積の公式から求める方針としたとき、$AD$と高さが不明のため、求める方法を考えます。
$AD$は余弦定理で求めることができ、高さは$AH$の補助線を引けば、$BD$と$∠ABC$から計算できると
気づくことができれば、その方針で回答を作成しましょう。

三角形$ABD$と三角形$BCD$の面積を合計して算出する方針としたときは
三角形$ABD$では、$AD$が不明で、三角形$BCD$では$∠DBC$が不明のため、求める方法を考えます。
$AD$は余弦定理で求め、$∠DBC$=$∠ADB$であるから$∠ADB$を正弦定理から求めることができると
気づくことができれば、その方針で回答を作成しましょう。

<別解>
余弦定理より
$BD^2=AB^2+AD^2-2AB \cdot AD \cos A$
$6^2=4^2+AD^2-2 \cdot 4 AD \cos120°$
$AD^2-4AD-20=0$
$AD=2\pm \sqrt{2^2+20}$
 $=2\pm 2\sqrt{6}$
$AD>0$より
$AD=2+\sqrt{6}$

正弦定理より
$\cfrac{AB}{\sin ∠ADB}=\cfrac{BD}{\sin ∠BAD}$
$\sin ∠ADB=\cfrac{AB \sin ∠BAD}{BD}$
 $=\cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}$
 $=\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

$S$=三角形$ABD$の面積+三角形$BCD$面積
 $=\cfrac{1}{2}AD \cdot BD \sin∠ADB+\cfrac{1}{2}DB \cdot BC \sin∠DBC$
 $=\cfrac{1}{2}DB\sin∠ADB(AD+BC)$
 $=\cfrac{1}{2}6\cfrac{\sqrt{3}}{3}(2+\sqrt{6}+9)$
 $=3\sqrt{2}+11\sqrt{3}$

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