08-01三角形の面積(難易度1)

次の三角形ABCの面積を求めよ
(1)$a=6、b=4、B=30°$   (2)$a=4、b=5、c=7$

面積の公式を使いましょう。

(1)$S=\cfrac{1}{2}ab\sin C$
  $=\cfrac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\cfrac{1}{2}$
  $=6$

(2)
$s=\cfrac{a+b+c}{2}$としたとき面積$S$は
ヘロンの公式より$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$となる。

$s=\cfrac{4+5+7}{2}=8$
$S=\sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)}$
 $=\sqrt{8\cdot4\cdot3\cdot1}$
 $=4\sqrt{6}$


(1)2辺の長さとその間の角がわかれば、面積の公式より求めることができます。
(2)3辺の長さがわかれば、ヘロンの公式で面積を求めることができます。
ヘロンの公式を忘れていたとしても、少し計算が大変ですが求めることができます。
余弦定理からどこかの角の$\cos$値を求め、そこから$\sin$値を求めて、面積を出すこともできます。

<別解>
$\cos C=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
  $=\cfrac{5^2+4^2-7^2}{2\cdot4\cdot5}$
  $=-\cfrac{1}{5}$

  $\sin C=\sqrt{1-\cfrac{1}{5^2}}$
  $=\sqrt{1-\cfrac{}{25}^2}$
  $=\sqrt{\cfrac{24}{25}}$
  $=\cfrac{2\sqrt{6}}{5}$

  $S=\cfrac{1}{2}ab\sin C$
  $=\cfrac{1}{2}\cdot 4\cdot5\cfrac{2\sqrt{6}}{5}$
  $=4\sqrt{6}$

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