07-02三角関数から三角形の形状(難易度2)

次の等式が成り立つとき、三角形$ABC$はどのような三角形か
$a\cos A=bcos B$

余弦定理を使いましょう

余弦定理より
$\cos A=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$   ・・・①
$\cos B=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$   ・・・②

①②を与式に代入して
$a \cdot \cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = b \cdot \cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
両辺に$2abc$をかけて
$a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2)$
$a^2c^2-b^2c^2-a^4+b^4=0$
$(a^2-b^2)c^2-(a^2-b^2)(a^2+b^2)=0$
$(a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)=0$

$a^2=b^2$または$c^2=a^2+b^2$
$a>0、b>0$より
つまり$a=b$または$c^2=a^2+b^2$
すなわち、辺$a$と辺$b$が等しい二等辺三角形、または、角$C$が直角の直角三角形


cosを消したいので、余弦定理を使います。

$a^2c^2-b^2c^2-a^4+b^4=0$の因数分解は、次数の一番低い$c$に注目して整理していきます。
$(a^2-b^2)c^2-(a^2-b^2)(a^2+b^2)=0$まで整理できれば、簡単に因数分解できると思います。

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