07-01三角関数から三角形の形状(難易度2)

次の等式が成り立つとき、三角形$ABC$はどのような三角形か
(1)$a\sin A=bsin B$   (2)$\cfrac{\cos A}{a}=\cfrac{\cos B}{b}=\cfrac{\cos C}{c}$

正弦定理を使いましょう

(1)正弦定理より
 $\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=2R$
 $\sin A=\cfrac{a}{2R}$   ・・・①
 $\sin B=\cfrac{b}{2R}$   ・・・②

 ①②を与式に代入して
 $a \cdot \cfrac{a}{2R}=b \cdot \cfrac{b}{2R}$
 $a^2=b^2$
 $a>0、b>0$より
 $a=b$

 つまり、辺$a$と辺$b$が等しい二等辺三角形である。

(2)正弦定理より
 $\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=2R$
 $a=2R\sin A$   ・・・①
 $b=2R\sin B$   ・・・②
 $c=2R\sin C$   ・・・③

①②を与式に代入して
 $\cfrac{\cos A}{2R\sin A}=\cfrac{\cos B}{2R\sin B}=\cfrac{\cos C}{2R\sin C}$

 $\cfrac{1}{2R\tan A}=\cfrac{1}{2R\tan B}=\cfrac{1}{2R\tan C}$
 $\tan A=\tan B=\tan B$
 $0<A<180°、0<B<180°、0<C<180°$より
 $A=B=C$
 つまり、正三角形である。


(1)式の中に$\sin$しかないので、正弦定理を使って$\sin A$を消す方向性と考えます。
(2)式の中に$\cos$しかないので、余弦定理を使って$\cos$を消す方向で考えたくなります。
もちろん、その方法でも解くことができますが、正弦定理を使った方が楽です。

<余弦定理を使った回答>
$\cfrac{\cos A}{a}=\cfrac{\cos B}{b}=\cfrac{\cos C}{c}$
$\cos A=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$   ・・・①
$\cos B=\cfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$   ・・・②
$\cos C=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$   ・・・③
①②③を与式に代入して
 $\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}=\cfrac{c^2+a^2-b^2}{2abc}=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
 $b^2+c^2-a^2=c^2+a^2-b^2$
 $2a^2=2b^2$
 $a>0、b>0$より$a=b$

 $c^2+a^2-b^2=a^2+b^2-c^2$
 $2b^2=2c^2$
 $b>0、c>0$より$b=c$
つまり、$a=b=c$

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