06-02三角関数の正弦定理、余弦定理(難易度2)

三角形$ABC$において
辺$a=2$、辺$b=\sqrt{2}$、角$B=30°$のときの辺$c$、角$C$を求めよ

余弦定理を使いましょう

余弦定理より
 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
 $\sqrt{2}^2=2^2+c^2-2 \cdot 2 \cdot c \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}$
 $c^2-2\sqrt{3}c+2=0$
 $c=\sqrt{3} \pm \sqrt{\sqrt{3}^2-1\cdot2}$
 $c=\sqrt{3} \pm 1$
 
正弦定理より
 $\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}$
 $\sin A=a\cdot \cfrac{\sin B}{b}$
 $\sin A=2 \cdot \cfrac{1}{\sqrt{2}}\cfrac{1}{2}$
 $=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$
 $A=45°または135°$
 $A+B+C=180°より$
 $C=105°または15°$

辺2つと角1つがわかっているので、残りの辺cを余弦定理で求めます。
$c$についての二次方程式を解いてみると、解が2つになるが、両方とも有効な解になります。
長さがわかっている辺に囲まれている角度わかっている場合は、残りの辺の長さは1通りしかないが、
囲まれていない角がわかっている場合は、残りの辺の長さが2通りになることがあります。

正弦定理より$\sin C$を求めることもできますが、
 $\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}$
 $\sin C=c\cdot \cfrac{\sin B}{b}$
 $\sin C=(\sqrt{3} \pm 1) \cdot \cfrac{1}{\sqrt{2}}\cfrac{1}{2}$
 $=\cfrac{\sqrt{3} \pm 1}{2\sqrt{2}}$
となり、$\sin C$から$C$がわからないため、$sin A$を求めてから、三角形の内角の和が$180°$となる法則をつかって解きます。

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