06-01三角関数の正弦定理、余弦定理(難易度1)

三角形$ABC$において
(1)角$A=30°$、辺$a=6$、のときの外周円の半径$R$を求めよ
(2)辺$a=3$、辺$b=5$、角$C=60°$のときの辺$c$を求めよ
(3)辺$a=\sqrt{6}$、辺$b=2$、辺$c=1+\sqrt{3}$のときの角$A$を求めよ

(1)正弦定理を使いましょう
(2)(3)余弦定理を使いましょう

(1)正弦定理より
 $\cfrac{a}{\sin A}=2R$
 $6 \cdot \cfrac{2}{1}=2R$
 $R=6$

(2)余弦定理より
 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
 $c^2=3^2+5^2-2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cfrac{1}{2}$
 $c^2=9+25-15=19$
 $c=\sqrt{19}$

(3)余弦定理より
 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
 $\sqrt{6}^2=2^2+(1+\sqrt{3})^2-2 \cdot2 \cdot(1+\sqrt{3})\cos A$
 $6=4+(1+2\sqrt{3}+3)-4(1+\sqrt{3})\cos A$
 $4(1+\sqrt{3})\cos B=2(1+\sqrt{3})$
 $\cos B=\cfrac{1}{2}$
 $A=60°$


(1)三角形の外接円の半径は正弦定理で求めます。
 三角形の辺の長さとその向かいの角度がわかれば、正弦定理より外接円の半径がわかります。
(2)(3)三角形の辺3つと角1つのうち、どれか一つがわからない場合、余弦定理で求めることができます。

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