04-02三角関数の方程式(難易度2)

以下の方程式を解け
$\tan\theta=\sqrt{2}\cos\theta$  ただし$0 \leqq \theta \leqq 90°$とする。

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$を使える形に変形しましょう

 $\tan\theta=\sqrt{2}\cos\theta$
 $\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sqrt{2}\cos\theta$
 $\sin\theta=\sqrt{2}\cos^2\theta$   ・・・①

 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$   ・・・②
②を①に代入して
 $\sin\theta=\sqrt{2}(1-\sin^2\theta)$
 $\sqrt{2}\sin^2\theta+\sin\theta-\sqrt{2}=0$   ・・・③

$\sin\theta=t$とおくと③は
 $\sqrt{2}t^2+t-\sqrt{2}=0$
 $(\sqrt{2}t-1)(t+\sqrt{2})=0$
 $t=\cfrac{1}{\sqrt{2}}、-\sqrt{2}$
$0 \leqq \sin\theta \leqq 1$より
 $\sin\theta=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
 $\theta=45°$


$\cos\theta$と$\tan\theta$が混ざっている場合、解くことが難しいので、
$\tan\theta$を$\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$にします。
その後、隠れている$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$の条件を使って解きます。
$\cos\theta$と$\sin\theta$のどちらか一方になるように代入して、あとは、二次方程式として解きます。
最後に、$\cos\theta$や$\sin\theta$がとりうる範囲を考えて、答えを絞るのを忘れないようにしましょう。

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