04-01三角関数の方程式(難易度1)

以下の方程式を解け
$2\sin^2\theta+7\cos\theta-5=0$  ただし$0 \leqq \theta \leqq 180°$とする。

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$を使おう

 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$   ・・・①
①を与式に代入して
 $2\sin^2\theta+7\cos\theta-5=0$
 $2(1-\cos^2\theta)+7\cos\theta-5=0$
 $-2\cos^2\theta+7\cos\theta-3=0$
 $2\cos^2\theta-7\cos\theta+3=0$   ・・・②
$\cos\theta=t$とおくと②は
 $2t^2-7t+3=0$
 $(2t-1)(t-3)=0$
 $t=\cfrac{1}{2}、3$
$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$より
 $\cos\theta=\cfrac{1}{2}$
 $\theta=60°$

$\cos\theta$と$\sin\theta$が混ざっている場合、解くことが難しいので、
隠れている$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$の条件を使って解きます。
$\cos\theta$と$\sin\theta$のどちらか一方になるように代入して、あとは、二次方程式として解きます。
最後に、$\cos\theta$や$\sin\theta$がとりうる範囲を考えて、答えを絞るのを忘れないようにしましょう。

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