04-03三角関数の方程式(難易度2)

$\cos\theta+\sin\theta=\cfrac{1}{2}$となるときの$\tan\theta$を求めよ
ただし $0 \leqq \theta \leqq 90°$とする。

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$を使える形に変形しましょう

 $\cos\theta+\sin\theta=\cfrac{1}{2}$
 $\cos\theta=\cfrac{1}{2}-\sin\theta$
両辺を2乗して
 $\cos^2\theta=\left( \cfrac{1}{2}-\sin\theta \right)^2$
 $\cos^2\theta=\sin^2\theta-\sin\theta+\cfrac{1}{4}$   ・・・①

 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$   ・・・②
②を①に代入して
 $1-\sin^2\theta=\sin^2\theta-\sin\theta+\cfrac{1}{4}$
 $2\sin^2\theta-\sin\theta-\cfrac{3}{4}$
 $8\sin^2\theta-4\sin\theta-3$   ・・・③
$\sin\theta=t$とおくと③は
 $8t^2-4t-3=0$
 $t=\cfrac{2\pm\sqrt{2^2-8\cdot(-3)}}{8}$
 $t=\cfrac{2\pm\sqrt{28}}{8}$
 $t=\cfrac{1\pm\sqrt{7}}{4}$
$0 \leqq \sin\theta \leqq 1$より
 $\sin\theta=\cfrac{1+\sqrt{7}}{4}$
与式より
 $\cos\theta=\cfrac{1}{2}-\sin\theta$
 $=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1+\sqrt{7}}{4}=\cfrac{1-\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$=\cfrac{1+\sqrt{7}}{4} \cdot \cfrac{4}{1-\sqrt{7}}$
$=\cfrac{1+\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}}$
$=\cfrac{(1+\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}$
$=\cfrac{1^2+2\sqrt{7}+7}{-6}$
$=-\cfrac{4+\sqrt{7}}{3}$


$\cos\theta$と$\sin\theta$が混ざっている場合、解くことが難しいので、
変形をして、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$の条件を使う形を作ります。
$\cos\theta$と$\sin\theta$のどちらか一方になるように代入して、あとは、二次方程式として解きます。
最後に、$\cos\theta$や$\sin\theta$がとりうる範囲を考えて、答えを絞るのを忘れないようにしましょう。

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