03-01角度をずらす三角関数の計算(難易度1)

$\sin\theta=\cfrac{2}{3}$のとき、以下の値を求めよ。ただし$\theta$は鋭角とする。
(1)$\sin(\theta+180^{\circ})+\cos(90^{\circ}-\theta)+\sin(180^{\circ}-\theta)$
(2)$\sin(\theta+90^{\circ})+\cos(180{\circ}-\theta)+\sin(90^{\circ}-\theta)$

(2)$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$を使おう

(1)$\sin(\theta+180^{\circ})+\cos(90^{\circ}-\theta)+\sin(180^{\circ}-\theta)$
  $=-\sin\theta+\sin\theta+\sin\theta$
  $=\sin\theta$
  $=\cfrac{2}{3}$
(2)$cos^2+sin^2=1$
  $cos^2\theta=1-sin^2\theta$
  $=1-\cfrac{4}{9}$
  $cos\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$

 $\sin(\theta+90^{\circ})+\cos(180^{\circ}-\theta)+\sin(90^{\circ}-\theta)$
  $=\cos\theta-\cos\theta+\cos\theta$
  $=\cos\theta$
  $=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$


90度や180度をずらす場合の公式を忘れてしまったら、半径1の円を描いて確認しましょう。
例えば、$180^{\circ}+\theta$の場合、
$(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$を$180^{\circ}$移動させると$(x,y)=(-\cos\theta,-\sin\theta)$に移動するので
$\cos(\theta+180^{\circ})=-\cos\theta、\sin(\theta+180^{\circ})=-\sin\theta$となります。

例えば、$90^{\circ}+\theta$の場合、
$(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$を$90^{\circ}$移動させると$(x,y)=(-\sin\theta,\cos\theta)$に移動するので
$\cos(\theta+90^{\circ})=-\sin\theta、\sin(\theta+90^{\circ})=\cos\theta$となります。

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