02-01sinからcos,tanを求める(難易度1)

以下の値を求めよ。ただし$\theta$は鋭角とする。
(1)$\sin\theta=\cfrac{1}{3}$  (2)$\tan\theta=\cfrac{3}{4}$

(1)$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$を使おう
(2)$1+\tan^2\theta=\cfrac{1}{\cos^2\theta}$を使おう

(1)$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$より
 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\left( \cfrac{1}{3}\right )^2 $
 $\cos^2\theta=\cfrac{8}{9}$
 $\theta$は鋭角のため$\cos\theta>0$
 つまり$\cos\theta=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}$
 
 $\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{3}{2\sqrt{2}}$
 $=\cfrac{\sqrt{2}}{4}$

(2)$1+\tan^2\theta=\cfrac{1}{\cos^2\theta}$
 $1+\left( \cfrac{3}{4} \right )^2=\cfrac{1}{\cos^2\theta}$
 $\cfrac{1}{\cos^2\theta}=\cfrac{25}{16}$
 $\theta$は鋭角のため$\cos\theta>0$
 つまり$\cos\theta=\cfrac{4}{5}$
 
 $\sin\theta=\cos\theta\tan\theta$
   $=\cfrac{4}{5}\cdot\cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{5}$


三角関数は、$\cos\theta、\sin\theta、\tan\theta$のうち一つの値がわかれば、その他の値がわかります。
$\sin$と$\cos$の関係は、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$を使います。
両辺を$cos^2\theta$で割ると、
$1+\tan^2\theta=\cfrac{1}{\cos^2\theta}$となり、
$\cos$と$\tan$の関係は上記を使います。

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