19-03解の範囲を指定される二次方程式(難易度3)

$2x^2-2(a-1)x+a^2-1=0$が$0<x<1$の範囲に異なる2つの解をもつとき、定数$a$の範囲を求めよ

問題の条件を満たす関数はどんな条件なのか整理しましょう。

$f(x)=2x^2-2(a-1)x+a^2-1$とおくと、$f(x)$は軸を$x=a-1$とする下に凸の放物線のため、
問題の条件を満たすのは
$判別式D>0$、$軸が0<a-1<1$、$f(0)>0、f(1)>0$が成り立つことである。
[1]$\cfrac{D}{4}=(a-1)^2-2\cdot(a^2-1)$
  $=a^2-2a+1-2a^2+2$
  $=-a^2-2a+3>0$
  $=a^2+2a-3<0$
  $(a-1)(a+3)<0$
  $-3<a<1$   ・・・①
[2]軸が$0<a-1<1$
  $1<a<2$   ・・・②
[3]$f(0)>0$
  $f(0)=a^2-1$
  $=(a+1)(a-1)>0$
  $a<-1、1<a$   ・・・③
[4]$f(1)>0$
 $f(1)=2\cdot1^2-2(a-1)1+a^2-1$
  $=a^2-2a+3$
  $(a-1)^2+2>0$
  つまり、すべての$a$について成り立つ   ・・・④

①②③④より、共通する範囲がないため、問題の条件を満たす$a$はない


以下のように、メモ欄など(頭の中)で条件を明確化していきます。
$0<x<1$の範囲に異なる2つの解をもつ
つまり①②③の条件を考える
 ①判別式$D$
  ⇒$D>0$
 ②軸の位置
  ⇒$0<軸<1$
 ③定義域両端での$y$の正負
  ⇒$f(0)>0、f(1)>0$
  
  
これを頭に留めておき、回答を作成していきます。

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