19-02解の範囲を指定される二次方程式(難易度2)

$y=x^2-2ax+2+2a$が2つの正の解をもつとき、定数$a$の範囲を求めよ

問題の条件を満たす関数はどんな条件なのか整理しましょう。

$f(x)=x^2-2ax+2+2a$とおくと、
$f(x)$は軸が$x=a$の下に凸の放物線のため、問題の条件を満たすのは
$判別式D>0$、$軸a>0$、$f(0)>0$が成り立つことである。
[1]$\cfrac{D}{4}=(-a)^2-a\cdot(2+2a)$
 $=a^2-2a-2>0$
 $a^2-2a-2=0$の解が$a=1 \pm \sqrt{3}$のため
 $a<1 -\sqrt{3}、1+\sqrt{3}<a$   ・・・①
[2]$軸a>0$   ・・・②
[3]$f(0)=2+2a>0$
 $a>-1$   ・・・③

①②③より、
$1+\sqrt{3}<a$


以下のように、メモ欄など(頭の中)で条件を明確化していきます。
「2つの正の解をもつ」ということは⇒「$x>0$の範囲で解が2個」
つまり①②③の条件を考える
 ①判別式$D$
  ⇒$D>0$
 ②軸の位置
  ⇒$a>0$
 ③定義域両端での$y$の正負
  ⇒$f(0)>0$

これを頭に留めておき、回答を作成していきます。
 

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