19-01解の範囲を指定される二次方程式(難易度2)

$y=x^2-ax+a^2-a$が$x$軸と$x>0$の部分と$x<0$の部分で交わるとき、定数$a$の範囲を求めよ

問題の条件を満たす関数はどんな条件なのか整理しましょう。

$f(x)=x^2-ax+a^2-a$とすると、f(x)は下に凸の放物線のため、問題の条件を満たすのは
$f(0)<0$が成り立つことである。
$f(0)=a^2-2a$
 $=a(a-2)<0$

つまり、$0<a<2$


以下のように、メモ欄など(頭の中)で条件を明確化していきます。
「$x$軸と$x>0$の部分と$x<0$の部分で交わる」とは、
 ⇒「[1]$x>0$の部分で解が1個、[2]$x<0$の部分で解が1個」ということ。

[1]$x>0$の部分で解が1個ということは、定義域$0<x<∞$での両端で正負が逆になる
 $x$が∞のとき$y$は正なので、$x=0$のとき$y$が負である。
 もう一方の解がx=0となる可能性はないので、条件なし
 つまり、$f(0)<0$
[2]$x<0$の部分で解が1個ということは、定義域$-∞<x<0$での両端で正負が逆になる
 $x$が-∞のとき$y$は正なので、$x=0$のとき$y$が負である。
 もう一方の解がx=0となる可能性はない
 つまり、$f(0)<0$

[1][2]より問題の条件が成り立つのは、$f(0)<0$いうことになります。
これを頭に留めておき、回答を作成していきます。

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