18-01置換する二次不等式(難易度3)

$(x^2-2x-2)^2-4(x^2-2x-2)+3\geqq0$を解け

よく似た式は$t$とおきましょう。

$x^2-2x-2$を$t$とおくと
 $(x^2-2x-2)^2-4(x^2-2x-2)+3$
 $=t^2-4t+3$
 $=(t-3)(t-1)\geqq0$
 つまり、$t\leqq 1、3 \leqq t$
[1]$t\leqq 1$のとき
 $x^2-2x-2\leqq 1$
 $x^2-2x-3\leqq 0$
 $(x-3)(x+1) \leqq 0$
 $-1 \leqq x \leqq 3$   ・・・①
[2]$3\leqq t$のとき
 $x^2-2x-2\geqq 3$
 $x^2-2x-5\geqq 0$
 $x^2-2x-5= 0$ の解が
 $x=-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-1\cdot(-5)}$
 $x=1 \pm \sqrt{6}$のため
 $x \leqq 1-\sqrt{6}、1+\sqrt{6} \leqq x$   ・・・②

①②より

 $x \leqq 1-\sqrt{6}、-1 \leqq x \leqq 3、1+\sqrt{6} \leqq x$


()内の二次式を全部展開してしまうと4次式になって解けなくなってしまいます。
そこで、()内が同じ数式になっていることを利用して$x^2-2x-2=t$として
まずは、$t$の二次不等式として解いていきましょう。
そうすると、$t\leqq 1、3 \leqq t$と解を得るので、次は$t$を$x$の式に戻して、
$x$の二次不等式として解いていけば、回答となります。

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