17-01最大値と最小値を解の有無で解く(難易度4)

$x^2+2y^2=2$を満たすとき、$2x+y$がとりうる最大値と最小値を求めよ。
また、そのときの$x$と$y$を求めよ

最大値と最小値があるということは、実数解があるということである

$2x+y$の取る値を$t$とおくと
 $2x+y=t$
 $y=t-2x$   ・・・①
①を$x^2+2y^2=2$に代入すると
 $x^2+2(t-2x)^2=2$
 $x^2+2(t^2-4tx+4x^2)-2=0$
 $9x^2-8tx+2t^2-2=0$   ・・・②
③は実数解をもつため、判別式を$D \geqq 0$となる
 $\frac{D}{4}=(-4t)^2-9(2t^2-2)$
  $=16t^2-18t^2+18$
  $=2t^2+18 \geqq 0$
  $-3 \leqq t \leqq 3$
つまり、最大値は$3$、最小値$-3$である。   ・・・③

$t$が最大値$3$のとき、②は重解をもつため
 $x=\cfrac{8t}{2\cdot9}=\cfrac{8\cdot3}{2\cdot9}=\cfrac{4}{3}$
 $y=t-2x=3-\cfrac{4\cdot2}{3}=\cfrac{1}{3}$   ・・・④
$t$が最小値$-3$のとき、②は重解をもつため
 $x=\cfrac{8t}{2\cdot9}=-\cfrac{4}{3}$
 $y=t-2x=-\cfrac{1}{3}$   ・・・⑤

すなわち、③④⑤より
$2x+y$がとりうる最大値は$3$、最小値$-3$
最大値のとき$x=\cfrac{4}{3}、y=\cfrac{1}{3}$
最小値のとき$x=-\cfrac{4}{3}、y=-\cfrac{1}{3}$


初めてこの種類の問題を見たとき、解く方法が思いつかなかったと思います。
$2x+y$が最大値と最小値を持つということは、$x^2+2y^2=2$に実数解があるということに気づけるかどうかです。
上記を気付くことができたら、あとは、連立方程式を解くだけになるので、解けると思います。

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