16-01定数のある二次方程式の実数解の数を不等式で解く(難易度3)

以下の二次方程式が異なる実数解を持つ定数$a$の範囲を求めよ
$(2+a)x^2+(a-1)x+1=0$

異なる実数解をもつということは、実数解が2個である。

[1]$a=-2$のとき
 与式は$-3x+1=0$の一次方程式となるため、解は1個となり条件を満たさない   ・・・①
[2]$a\neq -2$のとき
 与式は異なる実数解をもつのは、判別式$D>0$のときである。
 $D=(a-1)^2-4(2+a) \cdot 1$
  $=a^2-2a+1-8-4a$
  $=a^2-6a-7$
  $=(a-7)(a+1)>0$
  $a<-1、7<a$
  ただし、$a\neq 2$より、$a<-2、-2<a<-1、7<a$   ・・・②
①②より、求める範囲は$a<-2、-2<a<-1、7<a$

異なる実数解をもつということは、実数解が2個であるということです。
ただし、この問題では$x^2$の係数が0になってしまう場合が含まれています。
$x^2$の係数が0になると、単なる一次式になってしまうので、[1]$a=-2$と[2]$a\neq -2$の場合分けします。
あとは、[1]と[2]をそれぞれ解いて回答となります。
場合分けしたときは、もともとの条件を満たす答えとなっているかの確認を忘れないようにしましょう。

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