15-01定義域で条件を満たす二次不等式(難易度3)

$0 \leqq x \leqq 2$のすべての$x$に対して、
$x^2-2kx+2k+15 \geqq 0$が成り立つ定数$k$を求めよ

定義域$0 \leqq x \leqq 2$での$x^2-2kx+2k+15$の最小値に注目しましょう。

求める条件は、$f(x)=x^2-2kx+2k+15$とすると、
$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において$f(x)$の最小値が0以上になることである。

$f(x)=x^2-2kx+2k+15$
   $=(x-k)^2-k^2+2k+15$
となり、$f(x)$は下に凸で軸が$k$の放物線である。
$f(k)=-k^2+2k+15$
  $=-(k^2-2k-15)$
  $=-(k-5)(k+3)$
$f(0)=2k+15$
$f(2)=2^2-2\cdot k \cdot2+2k+15$
  $=-2k+19$

[1]$k<0$のとき$f(x)$の最小値は$x=0$のときである
 最小値が0以上になるのは、$f(0)=2k+15 \geqq 0$のときのため、$k\geqq -\cfrac{15}{2}$
 ただし、$k<0$より$-\cfrac{15}{2} \leqq k<0$   ・・・①
 
[2]$0 \leqq x \leqq 2$のとき$f(x)$の最小値は$x=k$のときである
 最小値が0以上になるのは、$f(k)=-(k-5)(k+3) \geqq 0$のときのため、$-3 \geqq k \geqq 5$
 ただし、$0 \leqq x \leqq 2$より$0 \leqq x \leqq 2$   ・・・②
 
[3]$k>2$のとき$f(x)$の最小値は$x=2$のときである
 最小値が0以上になるのは、$f(2)=-2k+19 \geqq 0$のときのため、$k\leqq \cfrac{19}{2}$
 ただし、$k>2$より$2<k \leqq \cfrac{19}{2}$   ・・・③

①②③より、$-\cfrac{15}{2} \leqq k \leqq \cfrac{19}{2}$


まず、定義域$0 \leqq x \leqq 2$での$x^2-2kx+2k+15$の最小値を求めます。
二次関数$y=a(x-k)^2+m$が下に凸の放物線のため、軸$k$が定義域に含まれれば、
常に最小値となることを考慮します。
頂点が含まれなければ、軸$k$に近いところが最小値となります。
つまり、軸が「定義域の左側」「定義域の内側」「定義域の右側」の3つに場合分けします。

この問題では、[1]$k<0$、[2]$0 \leqq x \leqq 2$、[3]$k>2$に場合分けします。

[1][2][3]の条件を解き、その範囲の合算が回答となるので、数直線を書いて、範囲を確定させます。

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