08-01解の範囲を指定される二次方程式で理解しておきたいこと

解の範囲を指定される二次方程式の問題において特に理解しておきたいところでは、
指定される条件を明確化して回答する解法を理解する必要があります。

1.解の範囲を指定される二次方程式の解法
 二次方程式の問題では、
 「$f(x)=x^2-2bx+b+1=0$の解が異なる2つの正の値なる定数$b$の範囲を求めよ」
 という感じの問題がよく出ます。
 いろいろなパターンがあり、以下のようなものがあります。
  「$x$軸の$x>$1の部分で異なる二点で交わる」
  「$0<x<1$の範囲に異なる2つの解がある」
  「$1<x<3$、$4<x<5$で$x$軸と交わる」
  「$0<x<1$の範囲に少なくとも1つの実数解がある」

 このような種類の問題は、二次関数のグラフの特性と定義域の両端での$y$の値の条件に置き換えて解くことができます。
 つまり、以下の条件で、ほとんどの問題が解けます。
 [1]範囲内に実数解が2個のとき
  ①判別式$D$
  ②軸の位置
  ③定義域両端での$y$の正負
 [2]範囲内に実数解が1個のとき
  ①定義域両端での$y$の値が正負異なる
  ②片方の解が定義域の端で、もう一方の解が範囲内にはいっている可能性がある
   そのときは、実際に解を確かめる必要がある
   
2.条件の例
  問題を例に、実際に条件の置き換え方を挙げていきます。
 (1)$y=f(x)=x^2-2bx+b+1$のグラフが$x$軸の$x>1$の部分で異なる二点で交わる(難易度2)
  ①判別式$D$の条件
   「異なる二点で交わる」⇒「実数解2個」⇒「$D>0$」となる。
  ②軸の位置の条件
   「$x>1$の部分で異なる二点で交わる」⇒「$x>1$の実数解が2個」
   ⇒「軸 $\leqq 1$だと、$x<1$の範囲に1個以上の解ができてしまう」
   ⇒「軸$>1$」
  
   
  ③定義域両端でのyの正負
   「$x>1$の部分」⇒「$f(1)$が正負どっちだろう」⇒「$f(1)>0$」
  となり、条件は
  
  
   判別式$D>0$、軸$b>1$、$f(1)>0$となり、これを解けば回答になります。
   
 (2)$f(x)=x^2-2bx+b+1=0$において、$0<x<1$の範囲に異なる2つの解がある(難易度3)
  ①判別式$D$の条件
   「異なる2つの解」⇒「実数解2個」⇒「$D>0$」となる。
  ②軸の位置の条件
   「$0<x<1$の範囲に異なる2つの解」⇒
   ⇒「軸 $\leqq 0$だと、$x<0$の範囲に1個以上の解ができてしまう」
   ⇒「軸 $\geqq 1$だと、$x>1$の範囲に1個以上の解ができてしまう」
   ⇒「$0<$軸$<1$」
  ③定義域両端でのyの正負
   「$0<x<1$の範囲」⇒「$f(0)$と$f(1)$の正負どっちだろう」⇒
   「$f(0)>0$、$f(1)>0$」
  となり、条件は
   判別式$D>0$、軸$0<b<1$、$f(0)>0$、$f(1)>0$となり、これを解けば回答になります。
   
 (3)$y=f(x)=ax^2-2ax+a+1=0(a\neq 0)$において、$1<x<3$と$4<x<5$で$x$軸と交わる(難易度3)
  ①定義域両端での$y$の値が正負異なる
   $1<x<3$での$y$の値が正負異なる⇒$f(1)f(3)<0$
   $4<x<5$での$y$の値が正負異なる⇒$f(4)f(5)<0$
   
   
  ②片方の解が定義域の端で、もう一方の解が範囲内にはいっている可能性がある
   ⇒$x=1$、$x=3$、$x=4$、$x=5$が解のとき、条件を満たさないので、可能性はない
  となり、条件は①だけを考えて
   $f(1)f(3)<0$、$f(4)f(5)<0$となり、これを解けば回答になります。
  
 (3)$f(x)=x^2-2bx+b+1=0$において、$0<x<1$の範囲に少なくとも1つの解がある(難易度5)
  「少なくとも1つの解がある」ということは、「解が2個のとき」と「解が1個のとき」の2種類ある。
  
  [1]解が2個のとき
   ①判別式$D$の条件
    「解が2個(重解可)」⇒「$D \geqq 0$」となる。
   ②軸の条件
    「$0<x<1$の範囲に2個」⇒
   ⇒「軸 $\leqq 0$だと、$x<0$の範囲に1個以上の解ができてしまう」
   ⇒「軸 $\geqq 1$だと、$x>1$の範囲に1個以上の解ができてしまう」
   ⇒「$0<$軸$<1$」
   ③定義域両端でのyの正負
   「$0<x<1$の範囲」⇒「$f(0)$と$f(1)$の正負どっちだろう」⇒
   「$f(0)>0$、$f(1)>0$」
   となり、条件は
   判別式$D \geqq 0$、軸$0<b<1$、$f(0)>0$、$f(1)>0$を解けば回答となる。
   
  [2]解が1個のとき
   ①定義域両端でのyの値が正負異なる
    $0<x<1$での$y$の値が正負異なる⇒$f(1)f(3)<0$
   ②片方の解が定義域の端で、もう一方解が範囲内にはいっている。
    ⇒$x=0$が解で、もう一方の解が$0<x<1$のときがある。
     ⇒実際に解を求めてみる必要がある。
    
     
    ⇒$x=1$が解で、もう一方の解が$0<x<1$のときがある。
     ⇒実際に解を求めてみる必要がある。
   となり
   「1つの解が$0<x<1$であり、その他の解が$x\neq0$または$x\neq1$のとき」
   「1つの解が$x=0$のとき」
   「1つの解が$x=1$のとき」
   の3つに場合分けをして回答するとよい

  最終的には、[1][2]の条件を満たす回答が解となります。

    

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