01-01数式の加法・減法・乗法で特に理解しておきたいところ

数式の加法・減法・乗法で特に理解しておきたいところでは、以下のような法則や公式があります。
数式の計算が主になるため、計算スピードを維持したまま計算ミスを減らす方法を考えることが必要です。

1.同類項の整理
 数式の加法や減法では、同類項をわかりやすいように整理する
 ①$3x+2y+4x^2+y^2-5+2x+6y^2$
 ②$\color{red}{3x}+2y+4x^2+\color{green}{y^2}-5+\color{red}{2x}+\color{green}{6y^2}$
 ③$\color{red}{(3+2)x}+2y+4x^2+\color{green}{(1+6)y^2}-5$
 ④$5x+2y+4x^2+7y^2-5$

2.指数法則
 $a^m \times a^n=a^{m+n}$ $(a^m)^n=a^{mn}$ $(ab)^n=a^nb^n $

3.二次式の展開公式
 ①$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
 ②$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
 ③$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
 ④$(ax+by)(cx+dy)=acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2$

4.三次式の展開公式
 ①$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
 ②$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
 ③$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
 ④$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
  ※ここで、②や④の展開式の$-$となる場所を迷う場合は、
   ①や③の展開式にある$b$の次数が奇数の部分が$\pm$逆になると覚えると良い
  
5.その他よく使う展開式
 ①$(a+b+c)^2=a^2+b^2+b^2+2ab+2bc+2ca$
 ②$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$

6.計算量を減らす工夫
 ①同じような式を見つけ、置き換えることで計算量を減らす
 $(x^3+2x^2+4x+5)(x^3-2x^2+4x-5)$
  $=(x^3+\color{red}{2x^2}+4x+\color{red}{5})(x^3\color{red}{-2x^2}+4x\color{red}{-5})$
  $=(x^3+4x+\color{red}{2x^2+5})(x^3+4x\color{red}{-(2x^2+5)})$
  $=(X+\color{red}{Y})(X-\color{red}{Y})$  $X=x^3+4x$ $\color{red}{Y=2x^2+5}$
  $=X^2-Y^2$
  $=(x^3+4x)^2-(2x^2+5)^2$
  $=x^6+8x^4+16x^2-(4x^4+20x^2+25)$
  $=x^6+4x^4-4x^2-25$
 ②同じような式ができるような計算順番を心がけ、置き換えを作る
 ③式数が減る二次式の展開公式、三次式の展開式が適用できるところを先に計算する
 $(x-2y)(x-3y)(x+2y)(x+3y)$
  $=\color{red}{(x-2y)}(x-3y)\color{red}{(x+2y)}(x+3y)$
  $=\color{red}{(x-2y)(x+2y)}(x-3y)(x+3y)$
  $=\color{red}{(x^2-4y^2)}(x^2-9y^2)$
  $=x^4-13x^2y^2+36y^4$
  

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