07-01二次方程式と二次不等式で理解しておきたいところ

二次方程式および二次不等式の解において特に理解しておきたいところでは、
判別式と実数解の数の関係、二次不等式の解法、実数解の範囲が指定されたときの解法を理解する必要があります。

1.二次方程式の解
 $ax^2+bx+c=0$の実数解は、以下の公式にて求めることができる。
  ただし、$b^2-4ac>0$のとき
 $x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
 また、$b’=2b$のとき、以下のように簡易化できます。
 $x=\cfrac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a}$
 その他、因数分解ができるのであれば、因数分解をして求めることができます。
 
 二次方程式の解を求めるときは、以下の順で求めましょう。
 ①因数分解できるか考える。
 ②$b^2-4ac>0$になるか考える。
 ③$b^2-4ac>0$であれば、解の方程式を使って解く。
 
2.二次方程式の実数解の数
 判別式$D=b^2-4ac$の符号により、実数解の数がわかります。
 $D>0$のとき実数解2個、$D=0$のとき実数解2個、$D<0$のとき実数解0個となります。
 また、$b’=2b$のとき、$\cfrac{D}{4}=b’^2-ac$と簡易化できます。
 
 その他、判別式$D$の符号でいろいろなことがわかります。
 $y=ax^2+bx+c$のグラフでは、
  $D>0$のとき$x$軸と2点で交わる
  $D=0$のとき$x$軸と接する
  $D<0$のとき$x$軸と交わらない
 放物線$y=ax^2+bx+c$と直線$y=px+q$の連立方程式から$y$を消去した$ax^2+bx+c-(px+q)=0$では
  $D>0$のとき放物線と直線が2点で交わる
  $D=0$のとき放物線と直線が接する
  $D<0$のとき放物線と直線が交わらない
 
3.二次不等式の解
 二次関数の特性をよく理解できると簡単に解けるようになります。
 二次関数の解とその前後で、$y$の正負が変化する関係を理解して解きましょう。
 
 ここでは、$x^2$の係数が正の場合について説明していきます。
 ちなみに、$x^2$の係数が負の場合は上下が逆になります。

 二次不等式は、二次方程式の実数解を使って解きます。
 (1)実数解が2個ある場合
  実数解を$\alpha$と$\beta$とすると二次関数のグラフは実数解を境に正負正の領域になります。
  この性質を利用して、解を導き出します。
  
  
  つまり
  $ax^2+bx+c>0$の解は、$x<\alpha$、$\beta<x$
  $ax^2+bx+c<0$の解は、$\alpha<x<\beta$
  もちろん、因数分解をしたときも同じ解になります。
  $a(x-\alpha)(x-\beta)>0$の解は、$x<\alpha$、$\beta<x$
  $a(x-\alpha)(x-\beta)<0$の解は、$\alpha<x<\beta$

 (2)実数解が1個ある場合
  実数解を$\alpha$とすると二次関数のグラフは$x=\alpha$のとき$y=0$になり、それ以外では正の領域になります。
  この性質を利用して、解を導き出します。
  

  つまり
  $ax^2+bx+c>0$の解は、$\alpha$以外のすべての実数
  $ax^2+bx+c \geqq 0$の解は、すべての実数
  $ax^2+bx+c<0$の解は、解なし
  $ax^2+bx+c \leqq 0$の解は、$x = \alpha$

 (3)実数解が0個の場合
  二次関数のグラフは、$x$軸と交わらないので、常に正になります。
  この性質を利用して、解を導き出します。
  

  つまり
  $ax^2+bx+c>0$の解は、すべての実数
  $ax^2+bx+c \geqq 0$の解は、すべての実数
  $ax^2+bx+c<0$の解は、解なし
  $ax^2+bx+c \leqq 0$の解は、解なし
  
  

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