05-01関数のグラフで理解しておきたいところ

関数のグラフで特に理解しておきたいところでは、以下のような法則や公式があります。
ここでは、関数のグラフの特徴を理解し、そのグラフを移動する際の法則を身につける必要があります。

1.一次関数の性質
 ①一次関数の基本形は、$y=ax+b$で表します。
  ただし、$a \neq 0$であることに注意
 ②一次関数のグラフの特徴
  ・$a$を傾きと呼び、$b$をy切片(y軸の切片)という。
  ・$a>0$のとき、右上がりの直線になる。
  ・$a<0$のとき、右下がりの直線になる。
  
  
2.二次関数の性質
 ①二次関数の基本形は、$y=ax^2+bx+c$で表します。
  また、その変形である$y=a(x-p)^2+q$や、$y=a(x-\alpha)(x-\beta)$で表します。
  ただし、$a \neq 0$であることに注意
 ②二次関数のグラフの特徴
  ・$a>0$のとき、下に凸の放物線になる。
  ・$a<0$のとき、上に凸の放物線になる。
  ・軸は、$x=-\cfrac{b}{2a}$の直線となり、左右対称になる。
  

  ・頂点は、点 $\left( -\cfrac{b}{2a},-\cfrac{b^2-4ac}{4a} \right)$となる。
   $y=a(x-p)^2+q$の場合、軸は$x=p$、頂点は点$(p,q)$となる
   

3.グラフの移動
 グラフを移動する場合、移動先の点(x,y)を基準として、元の位置がどのように表わされるかを考えて、
 置き換えるとよい。
 ①平行移動の場合
  ・$y=f(x)$のグラフを、$x$軸に$p$、$y$軸に$q$平行移動すると、
   移動後のグラフは、$y-q=f(x-p)$つまり$y=f(x-p)+q$となる。
   ※移動先の点$(x,y)$の元の位置が点$(x-p,x-q)$なので、$x$を$x-p$、$y$を$y-q$に置き換える
    符号を間違えないようしましょう。
    
    
 ②対称移動の場合
  ・$y=f(x)$のグラフを、$x$軸に対称に移動すると、
   移動後のグラフは、$-y=f(x)$つまり$y=-f(x)$となる。
   ※移動先の点$(x,y)$の元の位置が点$(x,-y)$なので、$y$を$-y$に置き換える
  ・$y=f(x)$のグラフを、$y$軸に対称に移動すると、
   移動後のグラフは、$y=f(-x)$となる。
   ※移動先の点$(x,y)$の元の位置が点$(-x,y)$なので、$x$を$-x$に置き換える
  ・$y=f(x)$のグラフを、原点に対称に移動すると、
   移動後のグラフは、$-y=f(-x)$つまり$y=-f(-x)$となる。
   ※移動先の点$(x,y)$の元の位置が点$(-x,-y)$なので、$x$を$-x$、$y$を$-y$に置き換える
   
   
  まとめると
  $x$軸に$p$、$y$軸に$q$平行移動  ⇒$y=f(x-p)+q$
  $x$軸に対称に移動      ⇒$y=-f(x)$
  $y$軸に対称に移動      ⇒$y=f(-x)$
  原点に対称に移動     ⇒$y=-f(-x)$
  
  

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