14-01条件を満たす二次不等式(難易度1)

次の事項が成り立つような定数$a,b$を求めよ
$ax^2+6x+b \leqq 0$の解が$x \leqq -1,3 \leqq x$

条件を満たす関数はどのなグラフなのか上手く説明しましょう。

条件より、$y=ax^2+6x+b$のグラフは上に凸の放物線で点$(-1,0)$と点$(3,0)$を通る。
つまり、以下の条件を満たす。
$a<0$
$a\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)+b=a+b-6=0$   ・・・①
$a\cdot3^2+6\cdot3+b=9a+b+18=0$   ・・・②
①②の連立方程式を解いて、$a=-3,b=9$。これは、$a<0$を満たす。
すなわち、$a=-3,b=9$

解$x \leqq -1,3 \leqq x$の形から、$x^2$の係数が正になるか負になるか判断します。
$ax^2+6x+b=0$の解が$x=-1$と$x=3$になることから、点$(-1,0)$と点$(3,0)$を通ることに導いています。

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