11-02二次関数の共有点(難易度2)

$k$を定数とするとき、以下の放物線と直線の共有点の数を求めよ
\begin{eqnarray*}
\left \{
\begin{array}{l}
y=-x^2+2 \\
y=x+k
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

代入して$y$を消しましょう。
判別式で共有解の数を判断しましょう。

$y=-x^2+2$  ・・・①
$y=x+k$  ・・・②
②を①に代入して
 $-x^2+2=x+k$
 $x^2-x+k-2=0$
判別式を$D$とすると
$D=(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (k-2)$
 $=-4k+9$
$D>0$となるのは$-4k+9>0$のとき、つまり$k<-\cfrac{9}{4}$
$D=0$となるのは$-4k+9=0$のとき、つまり$k=-\cfrac{9}{4}$
$D<0$となるのは$-4k+9<0$のとき、つまり$k>-\cfrac{9}{4}$

つまり、$k<-\cfrac{9}{4}$のとき共有点2個、$k=-\cfrac{9}{4}$のとき共有点1個、$k>-\cfrac{9}{4}$のとき共有点0個


2つのグラフの共有点の数は、その連立方程式の判別式Dの値で判断できます。
どちらも$y=$という形なので、$y$を消去して、$x$の二次方程式を解く方針で進めていきます。

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