10-01連立二次方程式(難易度2)

以下の連立方程式を解きなさい
\begin{eqnarray*}
\text{(1)} \left \{
\begin{array}{l}
x+y =3 \\
x^2+y^2 =5
\end{array}
\right. \qquad
\text{(2)} \left \{
\begin{array}{ll}
x^2+xy^2-y^2 =0 \\
x^2+y^2+3y-2x=6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

$x$または$y$を代入して消しましょう。

(1)
  $x+y=3$  ・・・①
  $x^2+y^2=5$  ・・・②
 ②より
  $y=3-x$  ・・・③
 ③を①に代入して
  $x^2+(3-x)^2=5$
  $x^2+x^2-6x+9-5=0$
  $2x^2-6x+4=0$
  $x^2-3x+2=0$
  $(x-1)(x-2)=0$
  $x=1,2$  ・・・④
 ④より③に代入して
  $y=2,1$
すなわち$(x,y)=(1,2),(2,1)$
   
(2)
  $x^2+xy-y^2=0$  ・・・①
  $x^2+y^2+3y-2x=6$  ・・・②
 ①より
  $x^2+xy-y^2=0$
  $(x-y)(x+2y)=0$
  $x=y$または$x=-2y$
  
 $x=y$のとき、②に代入して
  $x^2+y^2+3y-2x=6$
  $y^2+y^2+3y-2y-6=0$
  $2y^2+y-6=0$
  $(2y-3)(y+2)=0$
  $y=\cfrac{3}{2},-2$  ・・・③
 ③を$x=y$に代入して
  $x=\cfrac{3}{2},-2$
  
 $x=-2y$のとき、②に代入して
  $x^2+y^2+3y-2x=6$
  $(-2y)^2+y^2+3y-2(-2y)-6=0$
  $4y^2+y^2+3y+4y-6=0$
  $5y^2+7y-6=0$
  $(5y-3)(y+2)=0$
  $y=\cfrac{3}{5},-2$  ・・・④
 ④より$x=-2y$に代入して
  $x=\cfrac{-6}{5},4$
すなわち
 $(x,y)=(\cfrac{3}{2},\cfrac{3}{2}),(-2,-2),(\cfrac{-6}{5},\cfrac{3}{5}),(4,-2)$


(1)$x$と$y$の連立方程式なので、どちらかを代入して消すことを考えます。
$x+y=3$の一次式と$x^2+y^2=5$の二次式を比べた場合、一次式の方が簡単に$y=ax+b$の形に変形できるので、
変形させて$y$を消すことができます。
(1)$x$と$y$の連立方程式なので、どちらかを代入して消すことを考えます。
ただ、どちらも二次式なので簡単に変形できないのですが、$x^2+xy-y^2=0$が偶然因数分解できます。
そこに気づくことができれば、あとは、場合分けして代入して解くことができます。

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