08-03定数のある二次方程式の実数解の数(難易度2)

$k$を定数とするとき、以下の$x$の二次方程式の実数解の数を答えよ
$kx^2+2x+k=0$

判別式を使いましょう。

$k=0$のとき、与式は$2x=0$となり、実数解は$x=0$の$1$個となる
$k \neq 0$のとき
 判別式$D$とすると
  $D=(2)^2-4 \cdot k \cdot k$
   $=4-4k^2$
   $=4(1-k)(1+k)$
 $D>0$となるのは$(1-k)(1+k)>0$のとき、つまり$-1<k<1$
  ただし$k=0$のとき条件を満たさないため、$-1<k<0,0<k<1$となる。
 $D=0$となるのは$(1-k)(1+k)=0$のとき、つまり$k=-1,1$。これは条件を満たしている。
 $D<0$となるのは$(1-k)(1+k)<0$のとき、つまり$k<-1,1<k$。これは条件を満たしている。
すなわち
 $-1<k<0,0<k<1$のとき実数解$2$個
 $k=-1,0,1$のとき実数解は$1$個
 $k<-1,1<k$のとき実数解は$0$個

$x^2$の係数が$0$になると1次方程式となってしまうため、場合分けをします。
$x^2$の係数が$0$にならない場合は二次方程式となるので、実数解の数は判別式Dの値で判断します。
さらに、$D>0,D=0,D<0$の$3$つに場合分けして回答していきますが、もともとの場合分けである$k \neq 0$を
満たしていることの確認を忘れないようにしましょう。

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