09-01共通解をもつ二次方程式(難易度3)

以下の$x$の二次方程式が共通解を持つとき、定数kを求めよ。また、その共通解を求めよ。
$3x^2+kx-9=0 \qquad x^2-x+k=0$

共通解を$ \alpha $とおいて考えましょう。

二次方程式の共通解を$\alpha$とおくと、与式より
 $3 \alpha^2+k \alpha -9=0$  ・・・①
 $\alpha^2-\alpha +k=0$   ・・・②
①-②$\times 3$より
 $k \alpha -9 -3(-\alpha +k)=0$
 $(k+3)\alpha-3(k+3)=0$
 $(k+3)(\alpha-3)=0$
つまり$k=-3$、または$\alpha =3$

$k=-3$のとき
 ①②ともに$x^2-x-3=0$となり
 $x=\cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}$
  $=\cfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
$α=3$のとき
 ②より
  $3^2-3+k=0$
  $k=-6$
 つまり、与式は
  $3x^2-6x-9=0$  ・・・③
  $x^2-x-6=0$  ・・・④
 ③の解は、
  $3x^2-6x-9=0$
  $x^2-2x-3=0$
  $(x-3)(x+1)=0$つまり$x=3,-1$
 ④の解は、
  $x^2-x-6=0$
  $(x-3)(x+2)=0$ つまり$x=3,-2$

上記より
$k=-3$のとき共通解は$\cfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$、$k=-6$のとき共通解は$3$


共通解を$ \alpha $とおいて、どのような条件のときに解があるか、可能性を考えていきます。
与式より以下が成り立つのですが、$x^2$と$k$があるため簡単に解くことができません。
 $3 \alpha^2+k \alpha -9=0$  ・・・①
 $\alpha^2-\alpha +k=0$   ・・・②
そこで、$x^2$か$k$のどちらかを消すことを考えます。
どちらを消すかは運の要素もありますが、そんなに時間がかかるわけではないので、まずはやってみましょう。
どちらかが上手くいくように問題が作られている(上手くいかないと解けない)ので、
上手くいった方法で回答しましょう。

$k$を消す場合
②の式より$k=-\alpha^2+\alpha$となるので①に代入します。
$3 \alpha^2+(-\alpha^2+\alpha)\alpha -9$
 $=-\alpha^3+4\alpha^2-9$
 $=\alpha^3-4\alpha^2+9=0$
となり、三次方程式となり解くのが難しいので、ここであきらめることになります。
勘が良い人は、$(\alpha-3)(\alpha^2-\alpha-3)$と因数分解できて回答に導けますが、できなくてもよいです。

$x^2$を消す場合
①-②$\times 3$をします。
 $k \alpha -9 -3(-\alpha +k)$
 $=(k+3)\alpha-3(k+3)$
 $=(k+3)(\alpha-3)=0$
となり、解ける形となりました。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする