07-03定数がある二次方程式の解(難易度2)

$a$を定数とするとき、以下の$x$についての二次方程式を解きなさい
$(a^2-1)x^2-a^2-1=0$

$x^2$の係数が$0$であれば、単なる数字になることに気をつける

$(a^2-1)x^2-a^2+1=0$
$(a+1)(a-1)x^2-(a+1)(a-1)=0$ ・・・①

(1)$a=-1$場合
 ①の左辺は、$0\cdot x^2-(-1)^2+1=0$となり左辺=右辺となる
 つまり、すべての$x$について①は成り立つ
 
(2)$a=1$場合
 ①の左辺は、$0 \cdot x^2-(1)^2+1=0$となり左辺=右辺となる
 つまり、すべての$x$について①は成り立つ

(1)$a=-1,1$以外の場合
 $(a+1)(a-1)$は$0$でないため、①の両辺を$(a+1)(a-1)$で割ると
 $x^2-1=0$
 $(x+1)(x-1)=0$
つまり、$x=-1,1$

すなわち、(1)(2)(3)より、$a=-1,1$のときは、すべての$x$で成り立ち、$a=-1,1$以外のときは$x=-1,1$が解


$x^2$の係数が$0$になると二次式でなくなるので、場合わけをします。
(1)や(2)のように、$x$の値に関係なく左辺と右辺が等しくなる場合、「すべての$x$で成り立つ」という解になります。
逆に、$x$に関係なく左辺と右辺が等しくならない場合は、「解なし」となります。

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