06-01xとyが二次関数の最小値(難易度2)

以下の二次関数の最小値を求めよ。
$P=x^2+2y^2+4x-4y+6$

$x$,$y$のそれぞれを$(x-p)^2$、$(y-q)^2$の形に変形する

$P=x^2+2y^2+4x-4y+6$
 $=x^2+4x+2y^2-4y+6$
 $=(x+2)^2-4+2(y-1)^2-2+6$
 $=(x+2)^2+2(y-1)^2$
ここで、$(x+2)^2 \geqq 0$、 $2(y-1)^2 \geqq 0$のため$P \geqq 0$となる
つまり、最小値は$0$

二次関数の頂点が最小値になることを利用して変形を考えます。
まず、$y$を定数と思い、$x$について$(x-p)^2+q$の形に変形します。
$P=\color{red}{x^2}+2y^2+\color{red}{4x}-4y+6$
 $=\color{red}{x^2+4x}+2y^2-4y+6$
 $=\color{red}{(x+2)^2-4}+2y^2-4y+6$
 $=(x+2)^2+2y^2-4y+2$
次に、$x$を定数と思い、$y$について$(x-p)^2+q$の形に変形します。
$P=(x+2)^2+\color{red}{2y^2-4y}+2$
 $=(x+2)^2+\color{red}{2(y-1)^2-2}+2$
 $=(x+2)^2+2(y-1)^2$
あとは、$x$、$y$それぞれの頂点の部分が最小値になるので、説明を記載して回答となります。

$x$の係数に$y$が混ざっていないため、変形は比較的簡単にできると思います。

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